问几个数学问题

初中数学知识点总结

一、基本知识

B、方程与不等式

1、方程与方程组

一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程

1）一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解

(1）配方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

(3)公式法

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3）解一元二次方程的步骤：

（1）配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

(3)公式法

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4）韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

5）一元一次方程根的情况

利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：

I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）

2、不等式与不等式组

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B，A*C<B*C（C<0）

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；

3、函数

变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。②当B=0时，称Y是X的正比例函数。

一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；当K〈0，B〉0时，则经124象限；当K〉0，B〈0时，则经134象限；当K〉0，B〉0时，则经123象限。④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

B、图形与变换：

1、图形的轴对称

轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。

轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

2、图形的平移和旋转

平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、图形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。=M/N，那么A+C+…+M/B+D+…N=A/B。

黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。

相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应边的比叫做相似比。

相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AAA、SSS、SAS。

相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

C、图形的坐标

平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。他们分4个象限。XA，YB记作（A，B）。

D、证明

定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。

公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS、ASA、SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

三统计与概率

1、统计

科学记数法：一个大于10的数可以表示成A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整数。 扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。

各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

近似数字和有效数字：①测量的结果都是近似的。②利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。③对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

平均数：对于N个数X1，X2…XN，我们把（X1+X2+…+XN）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X（上边一横）。

加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。

调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。

2、概率

可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0〈P（A）〈1。

二、基本定理

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理 三角形两边的和大于第三边

16、推论 三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18、推论1 直角三角形的两个锐角互余

19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等

24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

48、定理 四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51、推论 任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2S=L×h

83、(1)比例的基本性质：

如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果 ad=bc ,那么a:b=c:d

84、(2)合比性质：

如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85、(3)等比性质：

如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),

那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88、定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111、推论1

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120、定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121、①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131、推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135、①两圆外离 d＞R+r

②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r)

⑤两圆内含 d＜R-r(R＞r)

136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137、定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141、正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长

142、正三角形面积√3a／4 a表示边长

143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144、弧长计算公式：L=n兀R／180

145、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

三、常用数学公式

公式分类公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a

-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

一、 氧气的性质：

（1）单质与氧气的反应：（化合反应）

1. 镁在空气中燃烧：2Mg + O2 点燃 2MgO

2. 铁在氧气中燃烧：3Fe + 2O2 点燃 Fe3O4

3. 铜在空气中受热：2Cu + O2 加热 2CuO

4. 铝在空气中燃烧：4Al + 3O2 点燃 2Al2O3

5. 氢气中空气中燃烧：2H2 + O2 点燃 2H2O

6. 红磷在空气中燃烧（研究空气组成的实验）：4P + 5O2 点燃 2P2O5

7. 硫粉在空气中燃烧： S + O2 点燃 SO2

8. 碳在氧气中充分燃烧：C + O2 点燃 CO2

9. 碳在氧气中不充分燃烧：2C + O2 点燃 2CO

（2）化合物与氧气的反应：

10. 一氧化碳在氧气中燃烧：2CO + O2 点燃 2CO2

11. 甲烷在空气中燃烧：CH4 + 2O2 点燃 CO2 + 2H2O

12. 酒精在空气中燃烧：C2H5OH + 3O2 点燃 2CO2 + 3H2O

（3）氧气的来源：

13．玻义耳研究空气的成分实验 2HgO 加热 Hg+ O2 ↑

14．加热高锰酸钾：2KMnO4 加热 K2MnO4 + MnO2 + O2↑（实验室制氧气原理1）

15．过氧化氢在二氧化锰作催化剂条件下分解反应： H2O2 MnO22H2O+ O2 ↑（实验室制氧气原理2）

二、自然界中的水：

16．水在直流电的作用下分解（研究水的组成实验）：2H2O 通电 2H2↑+ O2 ↑

17．生石灰溶于水：CaO + H2O == Ca(OH)2

18．二氧化碳可溶于水： H2O + CO2==H2CO3

三、质量守恒定律：

19．镁在空气中燃烧：2Mg + O2 点燃 2MgO

20．铁和硫酸铜溶液反应：Fe + CuSO4 === FeSO4 + Cu

21．氢气还原氧化铜：H2 + CuO 加热 Cu + H2O

22. 镁还原氧化铜：Mg + CuO 加热 Cu + MgO

四、碳和碳的氧化物：

（1）碳的化学性质

23. 碳在氧气中充分燃烧：C + O2 点燃 CO2

24．木炭还原氧化铜：C+ 2CuO 高温 2Cu + CO2↑

25． 焦炭还原氧化铁：3C+ 2Fe2O3 高温 4Fe + 3CO2↑

（2）煤炉中发生的三个反应：（几个化合反应）

26．煤炉的底层：C + O2 点燃 CO2

27．煤炉的中层：CO2 + C 高温 2CO

28．煤炉的上部蓝色火焰的产生：2CO + O2 点燃 2CO2

（3）二氧化碳的制法与性质：

29．大理石与稀盐酸反应（实验室制二氧化碳）：

CaCO3 + 2HCl == CaCl2 + H2O + CO2↑

30．碳酸不稳定而分解：H2CO3 == H2O + CO2↑

31．二氧化碳可溶于水： H2O + CO2== H2CO3

32．高温煅烧石灰石（工业制二氧化碳）：CaCO3 高温 CaO + CO2↑

33．石灰水与二氧化碳反应（鉴别二氧化碳）：

Ca(OH)2 + CO2 === CaCO3 ↓+ H2O

（4）一氧化碳的性质：

34．一氧化碳还原氧化铜：CO+ CuO 加热 Cu + CO2

35．一氧化碳的可燃性：2CO + O2 点燃 2CO2

其它反应：

36．碳酸钠与稀盐酸反应（灭火器的原理）:

Na2CO3 + 2HCl == 2NaCl + H2O + CO2↑

五、燃料及其利用：

37．甲烷在空气中燃烧：CH4 + 2O2 点燃 CO2 + 2H2O

38．酒精在空气中燃烧：C2H5OH + 3O2 点燃 2CO2 + 3H2O

39． 氢气中空气中燃烧：2H2 + O2 点燃 2H2O

六、金属

（1）金属与氧气反应：

40． 镁在空气中燃烧：2Mg + O2 点燃 2MgO

41． 铁在氧气中燃烧：3Fe + 2O2 点燃 Fe3O4

42. 铜在空气中受热：2Cu + O2 加热 2CuO

43. 铝在空气中形成氧化膜：4Al + 3O2 = 2Al2O3

（2）金属单质 + 酸 -------- 盐 + 氢气 （置换反应）

44. 锌和稀硫酸Zn + H2SO4 = ZnSO4 + H2↑

45. 铁和稀硫酸Fe + H2SO4 = FeSO4 + H2↑

46. 镁和稀硫酸Mg + H2SO4 = MgSO4 + H2↑

47. 铝和稀硫酸2Al +3H2SO4 = Al2(SO4)3 +3 H2↑

48. 锌和稀盐酸Zn + 2HCl == ZnCl2 + H2↑

49. 铁和稀盐酸Fe + 2HCl == FeCl2 + H2↑

50. 镁和稀盐酸Mg+ 2HCl == MgCl2 + H2↑

51．铝和稀盐酸2Al + 6HCl == 2AlCl3 + 3 H2↑

（3）金属单质 + 盐（溶液） ------- 新金属 + 新盐

52. 铁和硫酸铜溶液反应：Fe + CuSO4 == FeSO4 + Cu

53. 锌和硫酸铜溶液反应：Zn + CuSO4 ==ZnSO4 + Cu

54. 铜和硝酸汞溶液反应：Cu + Hg(NO3)2 == Cu(NO3)2 + Hg

（3）金属铁的治炼原理：

55．3CO+ 2Fe2O3 高温 4Fe + 3CO2↑

七、酸、碱、盐

1、酸的化学性质

（1）酸 + 金属 -------- 盐 + 氢气（见上）

（2）酸 + 金属氧化物-------- 盐 + 水

56. 氧化铁和稀盐酸反应：Fe2O3 + 6HCl ==2FeCl3 + 3H2O

57. 氧化铁和稀硫酸反应：Fe2O3 + 3H2SO4 == Fe2(SO4)3 + 3H2O

58. 氧化铜和稀盐酸反应：CuO + 2HCl ==CuCl2 + H2O

59. 氧化铜和稀硫酸反应：CuO + H2SO4 == CuSO4 + H2O

（3）酸 + 碱 -------- 盐 + 水（中和反应）

60．盐酸和烧碱起反应：HCl + NaOH == NaCl +H2O

61. 盐酸和氢氧化钙反应：2HCl + Ca(OH)2 == CaCl2 + 2H2O

62. 氢氧化铝药物治疗胃酸过多：3HCl + Al(OH)3 == AlCl3 + 3H2O

63. 硫酸和烧碱反应：H2SO4 + 2NaOH == Na2SO4 + 2H2O

（4）酸 + 盐 -------- 另一种酸 + 另一种盐

64．大理石与稀盐酸反应：CaCO3 + 2HCl == CaCl2 + H2O + CO2↑

65．碳酸钠与稀盐酸反应: Na2CO3 + 2HCl == 2NaCl + H2O + CO2↑

66．碳酸氢钠与稀盐酸反应：NaHCO3 + HCl== NaCl + H2O + CO2↑

67. 硫酸和氯化钡溶液反应：H2SO4 + BaCl2 == BaSO4 ↓+ 2HCl

2、碱的化学性质

（1） 碱 + 非金属氧化物 -------- 盐 + 水

68．苛性钠暴露在空气中变质：2NaOH + CO2 == Na2CO3 + H2O

69．苛性钠吸收二氧化硫气体：2NaOH + SO2 == Na2SO3 + H2O

70．苛性钠吸收三氧化硫气体：2NaOH + SO3 == Na2SO4 + H2O

71．消石灰放在空气中变质：Ca(OH)2 + CO2 == CaCO3 ↓+ H2O

72. 消石灰吸收二氧化硫：Ca(OH)2 + SO2 == CaSO3 ↓+ H2O

（2）碱 + 酸-------- 盐 + 水（中和反应，方程式见上）

（3）碱 + 盐 -------- 另一种碱 + 另一种盐

73. 氢氧化钙与碳酸钠：Ca(OH)2 + Na2CO3 == CaCO3↓+ 2NaOH

3、盐的化学性质

（1）盐（溶液） + 金属单质------- 另一种金属 + 另一种盐

74. 铁和硫酸铜溶液反应：Fe + CuSO4 == FeSO4 + Cu

（2）盐 + 酸-------- 另一种酸 + 另一种盐

75．碳酸钠与稀盐酸反应: Na2CO3 + 2HCl == 2NaCl + H2O + CO2↑

碳酸氢钠与稀盐酸反应：NaHCO3 + HCl== NaCl + H2O + CO2↑

（3）盐 + 碱 -------- 另一种碱 + 另一种盐

76. 氢氧化钙与碳酸钠：Ca(OH)2 + Na2CO3 == CaCO3↓+ 2NaOH

（4）盐 + 盐 ----- 两种新盐

77．氯化钠溶液和硝酸银溶液：NaCl + AgNO3 == AgCl↓ + NaNO3

78．硫酸钠和氯化钡：Na2SO4 + BaCl2 == BaSO4↓ + 2NaCl

常用物理量及其运算公式

物理量 单位 公式

名称 符号 名称 符号 表达式 说明

质量 m 千克 kg m=rv r:此物质的密度

温度 t 摄氏度 ° C K＝C＋273.16 K：绝对温度

速度 v 米／秒 m/s v=s/t 0

密度 p 千克／米3 kg/m3 p=m p：这做物质的密度

力（重力） F 牛顿（牛） N G=mg g：重力加速度

压强 P 帕斯卡（帕） Pa P=F/S 0

功 W 焦耳（焦） J W=Fs 0

功率 P 瓦特（瓦） w P=W/t 0

电流 I 安培（安） A I =U/R 0

电压 U 伏特（伏） V U=IR 0

电阻 R 欧姆（欧） Ω R=U/ I 0

电功 W 焦耳（焦） J W=U I t 0

电功率 P 瓦特（瓦） w P=W/t=U I 0

热量 Q 焦耳（焦） J Q=cm(t-t° ) c：比热 焦/(千克°C)

弹力 F 牛（顿） N F = － Kx K：弹性形变

摩擦力 F 牛（顿） N f= m N m：摩擦力因素

浮力 F 牛（顿） N F= r Vg r：密度

万有引力 F 牛（顿） N F=G Mm/r2 M，m：两物件的质量

安培力 F 牛（顿） N F= BIL B,I是垂直的

电场力 F 牛（顿） N F=qE E：场强

洛仑兹力 F 牛（顿） N f=BqV B和V是垂直的

牛顿第二定律 F 牛（顿） N F 合 = ma 0

匀变速直线运动 V 米/秒 m/s V t = V 0 + a t Vt：未速度

匀速圆周运动 V 米/秒 m/s V= w*R=2pi*f*R=2pi*R/T

向心力 F 牛（顿） N F= ma = m*V2/R R：此圆的半径

比热 c 焦／（千克°C） J/(kg°C) c＝Q/m（t－t 0 ）

真空中光速 3×10 8 米／秒

g 9.8牛顿／千克

15°C空气中声速 340米／秒

安全电压 不高于36伏

1． 数与式

（1） 实数

实数的性质：

①实数a的相反数是—a，实数a的倒数是 （a≠0）；

②实数a的绝对值：

③正数大于0，负数小于0，两个负实数，绝对值大的反而小。

二次根式：

①积与商的方根的运算性质：

（a≥0，b≥0）；

（a≥0，b＞0）；

②二次根式的性质：

（2）整式与分式

①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （m、n为正整数）；

②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （a≠0，m、n为正整数，m>n）；

③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （n为正整数）；

④零指数： （a≠0）；

⑤负整数指数： （a≠0，n为正整数）；

⑥平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即 ；

⑦完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即 ；

分式

①分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即 ； ，其中m是不等于零的代数式；

②分式的乘法法则： ；

③分式的除法法则： ；

④分式的乘方法则： （n为正整数）；

⑤同分母分式加减法则： ；

⑥异分母分式加减法则： ；

2． 方程与不等式

①一元二次方程 (a≠0）的求根公式：

②一元二次方程根的判别式： 叫做一元二次方程 （a≠0）的根的判别式：

方程有两个不相等的实数根；

方程有两个相等的实数根；

方程没有实数根；

③一元二次方程根与系数的关系：设 、 是方程 （a≠0）的两个根，那么 + = ， = ；

不等式的基本性质：

①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；

3． 函数

一次函数的图象：函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是过点（0，b）且与直线y=kx平行的一条直线；

一次函数的性质：设y=kx+b（k≠0），则当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0， y随x的增大而减小；

正比例函数的图象：函数 的图象是过原点及点（1，k）的一条直线。

正比例函数的性质：设 ，则：

①当k>0时，y随x的增大而增大；

②当k<0时，y随x的增大而减小；

反比例函数的图象：函数 （k≠0）是双曲线；

反比例函数性质：设 （k≠0），如果k>0，则当x>0时或x<0时，y分别随x的增大而减小；如果k<0，则当x>0时或x<0时，y分别随x的增大而增大；

二次函数的图象：函数 的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线；

①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；

②对称轴：直线 ；

③顶点坐标（ ；

④增减性：当a>0时，如果 ，则y随x的增大而减小，如果 ，则y随x的增大而增大；当a<0时，如果 ，则y随x的增大而增大，如果 ，则y随x的增大而减小；

（1）单质与氧气的反应：

1. 镁在空气中燃烧：2Mg + O2 点燃 2MgO

2. 铁在氧气中燃烧：3Fe + 2O2 点燃Fe3O4

3. 铜在空气中受热：2Cu + O2加热 2CuO

4. 铝在空气中燃烧：4Al + 3O2 点燃 2Al2 O3

5. 氢气中空气中燃烧：2H2 + O2 点燃 2H2 O

6. 红磷在空气中燃烧：4P + 5O2 点燃2P2 O5

7. 硫粉在空气中燃烧： S + O2 点燃 SO2

8. 碳在氧气中充分燃烧：C + O2 点燃 CO2

9. 碳在氧气中不充分燃烧：2C + O2 点燃 2CO

（2）化合物与氧气的反应：

10. 一氧化碳在氧气中燃烧：2CO + O2 点燃 2CO2

11. 甲烷在空气中燃烧：CH4 + 2O2 点燃 CO2 + 2H2 O

12. 酒精在空气中燃烧：C2 H5OH + 3O2 点燃 2CO2 + 3H2 O

二．几个分解反应：

13. 水在直流电的作用下分解：2H2 O 通电 2H2 ↑+ O2 ↑

14. 加热碱式碳酸铜：Cu2 (OH) 2 CO3 加热 2CuO + H2 O + CO2 ↑

15. 过氧化氢的分解：2H 2O 2MnO 2H 2O+O 2↑

15. 加热氯酸钾（有少量的二氧化锰）：2KClO3加热2KCl + 3O2 ↑

16. 加热高锰酸钾：2KMnO4 加热 K2 MnO4 + MnO2 + O2 ↑

17. 碳酸不稳定而分解：H2 CO3 === H2 O + CO2↑

18. 高温煅烧石灰石：CaCO3高温 CaO + CO2 ↑

三．几个氧化还原反应：

19. 氢气还原氧化铜：H2 + CuO加热Cu + H2 O

20. 木炭还原氧化铜：C+ 2CuO 高温 2Cu + CO2 ↑

21. 焦炭还原氧化铁：3C+ 2Fe2O3高温4Fe + 3CO2↑

22. 焦炭还原四氧化三铁：2C+ Fe3O4高温 3Fe + 2CO2↑

23. 一氧化碳还原氧化铜：CO+ CuO高温 Cu + CO2

24. 一氧化碳还原氧化铁：3CO+ Fe2 O3加热 2Fe + 3CO2

25. 一氧化碳还原四氧化三铁：4CO+ Fe3O4高温 3Fe + 4CO2

四．单质、氧化物、酸、碱、盐的相互关系

（1）金属单质 + 酸 -------- 盐 + 氢气 （置换反应）

26. 锌和稀硫酸Zn + H2 SO4 = ZnSO 4+ H2 ↑

27. 铁和稀硫酸Fe + H2 SO4 = FeSO4 + H2 ↑

28. 镁和稀硫酸Mg + H2 SO4 = MgSO4 + H2 ↑

29. 铝和稀硫酸2Al +3H2 SO4 = Al2 (SO4) 3 +3H2 ↑

30. 锌和稀盐酸Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2 ↑

31. 铁和稀盐酸Fe + 2HCl === FeCl2 + H2 ↑

32. 镁和稀盐酸Mg+ 2HCl === MgCl 2 + H2↑

33. 铝和稀盐酸2Al + 6HCl == 2AlCl3 + H2↑

（2）金属单质 + 盐（溶液） ------- 另一种金属 + 另一种盐

34. 铁和硫酸铜溶液反应：Fe + CuSO4 === FeSO4 + Cu

35. 锌和硫酸铜溶液反应：Zn + CuSO4 === ZnSO4 + Cu

36. 铜和硝酸汞溶液反应：Cu + Hg(NO3) 2 === Cu(NO3) 2 + Hg

（3）碱性氧化物 +酸 -------- 盐 + 水

37. 氧化铁和稀盐酸反应：Fe2O3 + 6HCl ===2 FeCl 3+ 3H2O

38. 氧化铁和稀硫酸反应：Fe2O3 + 3H2SO4 === Fe2 (SO4) 3+ 3H2O

39. 氧化铜和稀盐酸反应：CuO + 2HCl ==== CuCl2 + H2 O

40. 氧化铜和稀硫酸反应：CuO + H2SO4 ==== CuSO4 + H2 O

41. 氧化镁和稀硫酸反应：MgO + H2SO4 ==== MgSO4 + H2O

42. 氧化钙和稀盐酸反应：CaO + 2HCl ==== CaCl2 + H2 O

（4）酸性氧化物 +碱 -------- 盐 + 水

43．苛性钠暴露在空气中变质：2NaOH + CO2 ==== Na2CO3 + H2O

44．苛性钠吸收二氧化硫气体：2NaOH + SO2 ==== Na2SO3 + H2O

45．苛性钠吸收三氧化硫气体：2NaOH + SO3==== Na2SO4 + H2O

46．消石灰放在空气中变质：Ca(OH) 2 + CO2 ==== CaCO 3↓+ H2 O

47. 消石灰吸收二氧化硫：Ca(OH) 2 + SO2 ==== CaSO 3↓+ H2 O

（5）酸 + 碱 -------- 盐 + 水

48．盐酸和烧碱起反应：HCl + NaOH ==== NaCl +H2 O

49. 盐酸和氢氧化钾反应：HCl + KOH ==== KCl +H2O

50．盐酸和氢氧化铜反应：2HCl + Cu(OH) 2 ==== CuCl2 + 2H2 O

51. 盐酸和氢氧化钙反应：2HCl + Ca(OH) 2 ==== CaCl2 + 2H2 O

52. 盐酸和氢氧化铁反应：3HCl + Fe(OH) 3 ==== FeCl3+ 3H2 O

53.氢氧化铝药物治疗胃酸过多：3HCl + Al(OH) 3==== AlCl3 + 3H2O

54.硫酸和烧碱反应：H2 SO4 + 2NaOH ==== Na2 SO4 + 2H2O

55.硫酸和氢氧化钾反应：H2SO 4+ 2KOH ==== K2SO4 + 2H2 O

56.硫酸和氢氧化铜反应：H2SO4 + Cu(OH) 2 ==== CuSO4 + 2H2 O

57. 硫酸和氢氧化铁反应：3H2SO4 + 2Fe(OH) 3==== Fe2 (SO4) 3 + 6H2 O

58. 硝酸和烧碱反应：HNO3+ NaOH ==== NaNO3 +H2 O

（6）酸 + 盐 -------- 另一种酸 + 另一种盐

59．大理石与稀盐酸反应：CaCO 3+ 2HCl === CaCl2 + H2 O + CO2↑

60．碳酸钠与稀盐酸反应: Na2CO 3+ 2HCl === 2NaCl + H2 O + CO2 ↑

61．碳酸镁与稀盐酸反应: MgCO3 + 2HCl === MgCl2 + H2 O + CO2 ↑

62．盐酸和硝酸银溶液反应：HCl + AgNO3 === AgCl↓ + HNO3

63.硫酸和碳酸钠反应：Na2CO3 + H2 SO4 === Na2SO4 + H2 O + CO2 ↑

64.硫酸和氯化钡溶液反应：H2SO4 + BaCl2 ==== BaSO4 ↓+ 2HCl

（7）碱 + 盐 -------- 另一种碱 + 另一种盐

65．氢氧化钠与硫酸铜：2NaOH + CuSO4==== Cu(OH) 2↓ + Na2 SO4

66．氢氧化钠与氯化铁：3NaOH + FeCl3 ==== Fe(OH) 3↓ + 3NaCl

67．氢氧化钠与氯化镁：2NaOH + MgCl2 ==== Mg(OH) 2 ↓ + 2NaCl

68. 氢氧化钠与氯化铜：2NaOH + CuCl2 ==== Cu(OH) 2 ↓ + 2NaCl

69. 氢氧化钙与碳酸钠：Ca(OH) 2 + Na2CO3=== CaCO3↓+ 2NaOH

（8）盐 + 盐 ----- 两种新盐

70．氯化钠溶液和硝酸银溶液：NaCl + AgNO3==== AgCl↓+ NaNO3

71．硫酸钠和氯化钡：Na2SO4 + BaCl2 ==== BaSO4↓ + 2NaCl

五．其它反应：

72．二氧化碳溶解于水：CO2 + H2O === H2 CO3

73．生石灰溶于水：CaO + H2 O === Ca(OH) 2

74．氧化钠溶于水：Na2 O + H2 O ==== 2NaOH

75．三氧化硫溶于水：SO3 + H2 O ==== H2 SO4

76．硫酸铜晶体受热分解：CuSO4·5H2 O 加热 CuSO4 + 5H2 O

77．无水硫酸铜作干燥剂：CuSO4 + 5H2 O ==== CuSO4·5H2 O

定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

顶点式：y=a(x-h)²+k或y=a(x+m)²+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)

交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）

二次函数表达式的右边通常为二次。

x是自变量，y是x的二次函数

x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

[编辑本段]二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像

[编辑本段]抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______

Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b²－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)

7.定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b²)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；

⑷Δ=b²-4ac,

Δ＞0，图象与x轴交于两点：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)²+t[配方式]

此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式]

a≠0，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。

[编辑本段]二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax^2

y=ax^2+K

y=a(x-h)^2

y=a(x-h)^2+k

y=ax^2+bx+c

顶点坐标

(0，0)

(0，K)

(h，0)

(h，k)

(-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)

对 称 轴

x=0

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

1．根据已学科学知识判断下列广告用语中，叙述正确的是

A．这种饮料不含任何化学物质

B．没有水就没有生命

C．本厂生产碳酸氢铵(NH4HCO3)产品中氮元素的质量分数大于50％，含氮量高，价格低廉，是农民朋友增收致富的好帮手

D．“××”牌蔬菜，天然种植，不含任何化学元素，是真正的绿色食品

2．地球上的生物种类非常之多，构成生物(病毒除外)结构的基本单位都是

A．组织 B．器官 C．细胞 D．系统

3．如图所示，胡柚树上有甲、乙、丙三个质量相等的胡柚，它们分别在不同的位置上，则哪一个胡柚所具有的重力势能最大

A．甲 B．乙

C．丙 D．一样大

4．将下列四种家庭常用的调味品分别放入水中，不能形成溶液的是

A．醋酸 B．蔗糖 C．食盐 D．香油

5．电影《爸爸的爱》中的小主人翁得了白血病，在没有找到匹配移植骨髓之前，只有靠输血维持生命，如果该主人翁的血型是A型，应该输何种血型为原则

A．A型 B．B型 C．O型 D．AB型

6．汽车以80千米／时的速度在水平公路上行驶，遇到紧急情况刹车时，公路上留下两条轮胎擦痕。下列说法正确的是

A．擦痕越长，表明汽车惯性越小

B．擦痕越长，表明汽车速度越小

C．擦痕是由于刹车后车轮与地面的摩擦增大造成的

D．刹车过程中机械能守恒

7．水资源是可再生资源，在水循环中，不断地在大气和地表之间运动，如图表示水循环的一部分，图中标着X、Y和Z的地方表示水循环中的三个阶段。下列说法正确的是

A．X阶段是蒸发，Y阶段是凝结，Z阶段是降水

B．X阶段是蒸腾，Y阶段是凝结，Z阶段是降水

C．X阶段是凝结，Y阶段是蒸发，Z阶段是凝固

D．X阶段是降水，Y阶段是蒸腾，Z阶段是凝结

8．含在嘴里的棒冰会逐渐化成水，这个过程是：

A．液化 B．汽化 C．熔化 D．凝固

9．我国已颁布了“城市生活垃圾分类标志”，部分标志如图所示。现有废旧日光灯管、电池应投入贴有哪种标志的垃圾收集箱

10．俗话说“种瓜得瓜，种豆得豆”，某人的眼睛象父亲、鼻子象母亲说的就是这个道理。那么控制生物性状的遗传物质是

A．染色体 B．基因 C．DNA D．蛋白质

11．因缺乏科学常识而造成伤亡事故时有发生，下列做法正确的是

A．有金属外壳的家用电器，其外壳的接地线可以接在电源的零线上

B．不接触低压带电体，不靠近高压带电体

C．稀释浓硫酸时，把水直接倒入浓硫酸中

D．电器设备失火时，先用水灭火，再切断电源

12．生物的生殖方式分为有性生殖和无性生殖，下列个体的产生是通过有性生殖形成的是

A．克隆绵羊 B．组织培养的小麦幼苗

C．嫁接的柑桔 D．试管婴儿

13．杠杆的种类很多，下列属于省力杠杆的是

A．开瓶器 B．钓鱼杆 C．人的前臂 D．定滑轮

14．南瓜中有许多瓜籽，是因为在南瓜的一朵雌花中有许多

A．花粉 B．胚珠 C．子房 D．雌蕊

15．用铁酸钠(Na2FeO4)对来自江、湖的淡水进行消毒是城市饮用水处理的新技术，在Na2FeO4中氧元素的化合价为-2价，钠元素的化合价为+1价，则铁元素的化合价为

A．+2 B．+3 C．+5 D．+6

16．下列事例中，不是应用大气压的是

A．用吸管吸饮料 B．用抽水机抽水

C．用胶头滴管吸取化学试剂 D．将注射器针管中的药液注入人体内

17．科学知识中有很多的“相等”。请你判断下列说法中不正确的是

A．100体积的水和100体积的酒精混合，所得混合溶液的体积等于200体积

B．串联电路中电流大小处处相等

C．稀盐酸和氢氧化钠溶液混合后，所得溶液质量与反应前溶液的总质量相等

D．在化学反应中，反应物的原子种类和总数等于生成物的原子种类和总数

18．人体有恒定的体温，主要是机体的产热和散热能保持动态平衡的结果，下面是甲、乙两位同学在某状况下的产热统计图，据图表判断他们所处的状况

A．甲处在安静状态，乙是运动状态 B．甲、乙都处在安静状态

C．甲处在运动状态，乙是安静状态 D．甲、乙都处在运动状态

19．地球是太阳系中的一员，太阳活动不同程度地影响地球上的气候、水文、地质，甚至人类的生活，下列可以作为太阳活动强弱标志的是

A．日冕 B．太阳黑子 C日珥 D．太阳风

20．一般家庭的卫生间都要安装照明灯和换气扇。使用时，有时需要各自独立工作，有时需要它们同时工作。评价下图所示的电路，你认为符合上述要求的是

二、简答题(本题有10小题，20空格，每空格3分，共60分)

21．人体消化系统由消化道和消化腺组成，食物中七类营养物质，必须经过消化系统的消化和吸收，才能进入血液，通过血液循环把营养物质输送到全身各组织中去。

(1)食物消化和吸收的主要场所是 ▲ 。

(2)血液在一次完整的血液循环过程中要流经心脏两次，可以分为体循环和 ▲ 。

22．人们常用模型来表示分子由原子构成。如果用“●”表示氧原子，用“○”表示氢原子，则“ ”表示 ▲ 分子。

23．太阳和月亮是地球在宇宙中最重要的近邻，月球绕地球运动，使太阳、地球、月球三者相对位置在一个月中有规律地变动，从而产生月相变化。

(1)中秋节的月相是 ▲ 。

A．新月 B．满月 C．上弦月 D．下弦月

(2)月球是人类探索宇宙的第一站，我国也在发展登月技术。科学家发现月球上没有空气和水，也没有生命，其表面布满大大小小的 ▲ 。

24．如图所示，广口瓶内盛有适量澄清石灰水，内放一株绿色植物，并用瓶塞塞紧，在黑暗中放置较长时间，发现澄清石灰水变浑浊。这是因为瓶内的 ▲ 气体与Ca(OH)2发生了反应，该种气体主要是由植物的 ▲ 作用释放出来的。

25．如图是某学习小组同学在探究性学习中做的几个小实验，请回答：

(1)在伏安法测电阻实验中，电流表示数如图甲，则电流大小是 ▲ A。

(2)图乙所示，把一段底部封闭的薄金属管固定在桌面上，里面放一些乙醚，用塞子塞紧。用一根绳子绕在管外并迅速来回拉绳子，我们会看到橡皮塞向上跳起。当橡皮塞向上跳起时，是 ▲ 能转化成机械能。

(3)图丙所示，用双手分别拿着两张纸条的一端，使它们垂挂在胸前。沿两张纸的中间向下吹气时，看到两张纸条向中间靠拢。对这一现象合理解释是： ▲ (选填“A”或“B”)。

A．气体流速越大，气压越大 B．两纸条中间的气压小于纸外侧的气压

26．衢州日报报道：2006年3月lo日，浙江巨化股份有限公司(下称“巨化股份”)迎来了JMD跨国公司，无偿帮助巨化股份进行环保技改，并把减少的二氧化碳废气排放权统统买走。该项目是迄今为止世界上最大的一笔二氧化碳排放权交易。为了保护人类赖以生存的地球，根据“京都议定书”有关要求，世界各地纷纷采用多种措施和新技术，限制CO2的排放量，以控制日趋严重的温室效应。请回答下列问题：

(1)科学家把工业上排出的二氧化碳气体采用“组分转化”技术，将CO2和H2以一定比例混合，在一定条件下反应生成一种重要的化工原料和水，反应的化学方程式为2CO2+6H2→X+4H2O。请写出X的化学式 ▲ 。

(2)为了减缓大气中CO2含量的增加，下列建议中，目前可行的是 ▲ (填序号)。

①大量植树造林，禁止乱砍滥伐

②公交车上推广使用压缩天然气[主要成分是甲烷(CH4)]作燃料，使用天然气作燃料能从根本上避免温室效应的发生

③更多地利用核能、太阳能、风能、地热能等

④禁止使用煤、石油等矿物能源

27．如图所示，是研究“通电螺线管周围磁场强弱”的实验电路图。

(1)要改变通电螺线管线圈中的电流大小，可通过 ▲ 来实现；

(2)要判断通电螺线管周围磁场强弱，可通过观察 ▲ 来确定。

28．发展生态农业是社会主义新农村建设的重要内容之一。某年轻农民在驻村干部的帮助下，在自家菜园搞了一个小型农业生态系统：地面养蘑菇，空中架箱养蚯蚓，顶上搭架种葡萄，同时用蚯蚓养鸡，鸡粪喂猪，猪粪汇集沼气池，沼气作燃料，沼渣当肥料，最大限度的实现了物质资源化。

(1)此生态系统中，蘑菇、蚯蚓属于 ▲ (填“生产者”、“分解者”或“消费者”)

(2)在生态系统能量流动过程中，把太阳能固定在生物群落中是通过 ▲ 作用完成的。

29．某同学帮实验室老师搞卫生，在清洗甲、乙两个体积相等的球时，发现它们在水中静止后处于如图所示的状态，这时甲球受到的浮力 ▲ 乙球受到的浮力(填“大于”、“等于”或“小于”)。

30．利用科学原理可以进行一些有趣的小魔术。

(1)白花变红花。在白的纸花上，先喷上无色的A溶液，再喷上无色的B溶液，白花立即变成了红花。如果A溶液是无色酚酞，则B是 ▲ (填序号：①稀盐酸②氢氧化钠溶液③食盐水)。

(2)“清水”变“牛奶”。在无色液体C中，倒入五色液体B，立，即产生“牛奶”般的白色沉淀。如果C是稀硫酸，则B是 ▲ (填序号：①氢氧化钠溶液②氯化钡溶液③氯化钠溶液)，其中发生化学反应的基本类型是 ▲ 。

三、实验探究题(本题有3小题，第31小题9分，第32小题9分，第33小题10分，共28分)

31．某县在实施现代化农业示范区的建设中，实现了工厂化育苗，提高工厂化育苗萌发率的关键是确定育苗所需的最适宜条件。为能找出某水稻优良品种萌发的最适宜温度，某小组通过查阅了解到一般种子萌发的最高温度(40℃)和最低温度(10℃)，然后在它们之间选择了7个温度点进行实验，取7个相同实验装置(如图A所示)，分别放在相应的温度环境中(其他条件相同)，在不同温度下生长了7天后，种子的萌发率如下：

温度(℃) 10 15 20 25 30 35 40

萌发率 10％ 20％ 60％ 85％ 80％ 45％ 30％

(1)根据实验数据得出该水稻种子的最适温度是 ▲ 左右。

(2)除了温度高低会影响种子的萌发率外，根据所学的知识请再写出一条影响种子萌发的外界因素 ▲

(3)你认为水稻种子萌发过程中所需要的营养物质是由 ▲ 提供(填“胚乳”或“子叶”)。

32．小珂同学在观察小球摆动时动能和势能转化的实验中(如图所示)，发现小球每摆一个来回的时间似乎都相等。于是小珂想到这样一个问题：小球来回摆动一次所用的时间(称周期T)跟哪些因素有关呢?

猜想①：可能跟小球摆动的幅度有关；

猜想②：可能跟小球质量有关；

猜想③：可能跟绳子长度有关。

为验证自己的猜想，小珂用秒表测出了不同条件下，小球来回摆动多次所用的时间，算出平均摆动一次所用的时间。请回答：

(1)小珂采用测量小球来回摆动多次的时间取平均值的方法，而不是测量小球来回摆动一次所用的时间来确定周期T，目的是为了 ▲ 。

(2)为验证猜想②是否正确，小珂同学已准备了：秒表、刻度尺，还缺少一种实验室常用的测量仪器，它的名称是 ▲ 。

(3)大量的实验表明，同一个地点小球摆动一次的时间T只跟绳子的长度有关，且绳子越长，周期T越大。摆钟就是根据这个原理制成的。有一次小珂发现家里的摆钟变慢了，要把它调准，小珂应将摆钟的摆长 ▲ (选填“调长”或“调短”)。

33．某学校科学兴趣小组在研究“带火星木条复燃与氧气体积分数的关系”的课题中，采取了以下实验步骤：

①取5只250mL集气瓶，向5只集气瓶中分别装入25mL、50mL、75mL、100mL、125mL的水，并用毛玻璃片盖住，依次编号为1、2、3、4、5；

②用分解过氧化氢(H2O2)的方法制取氧气，用制取的氧气通过排水法将上述1～5号瓶中的水排去；

③将带火星的木条依次插入1～5号瓶中，把观察到现象和计算数据，填入下表。

集气瓶标号 1 2 3 4 5

集气瓶中氧气的体积分数 28．9％ 36．8％ 44．7％ 52．6％ 60．5％

带火星木条的状况 微亮 亮 很亮 复燃 复燃

试回答下列问题：

(1)实验室中采用分解过氧化氢(H2O2)的方法制取氧气，其反应的化学方程式是 ▲ 。

(2)根据以上实验事实，下列说法中正确的是 ▲ (填写相应的字母)。

A．只有在纯氧中才能使带火星的木条复燃

B．集气瓶中氧气的体积分数≥52．6％时，带火星的木条就能复燃

C．只要有氧气存在就可使带火星的木条复燃。

(3)上述实验表明：物质燃烧的程度与氧气的浓度有关，氧气浓度越大，燃烧越剧烈。请你再举一例，将实验内容和实验现象填写在下表中：

实验内容 实验现象 实验结论

▲ ▲ 氧气浓度越大，燃烧越剧烈

四、分析计算题(本题有5小题，第34小题3分，第35小题7分，第36小题8分，第37小题8分，第38小题6分，共32分)

34．2006年5月15日，国家食品药品监督管理局，通报了因注射由齐齐哈尔第二制药有限公司生产的“亮菌甲素注射液”造成多位病人死亡的严重后果，其主要原因是原料检验环节失控，用“二甘醇”替代“丙二醇”投料生产。二甘醇的化学式为C4H10O3，，有很强的毒性，它能在人体内氧化成草酸而引起肾脏损伤；“丙二醇”可做药用溶剂，也可用于多种药物及新型抗氧剂的合成。“丙二醇”的化学式为C3H8O2。请根据以上信息，回答下列问题：

(1)组成“丙二醇”和“二甘醇”的元素有 ▲ 种。

(2)“丙二醇”中碳元素和氧元素的质量比是多少?

35．学习了测量、速度、功、压强等知识后，小明测出了自己的质量50千克，一只鞋与地面的接触面积0．02米2，还测出学校附近的小山相对高度50米，山脚到山顶的路程100米，小明从山脚爬到山顶的时间200秒。根据以上数据回答下列问题：(g取10牛／千克)

(1)小明由双脚站立改为单脚站立时，对水平地面的压强 ▲ (选填“减小”、“不变”或“增大”)

(2)小明爬山过程的平均速度多大?

(3)小明从山脚爬到山顶克服自身重力所做的功多少?

36．小王同学在学习了金属的化学性质后，想对学校实验室中的锌、铜合金中所含锌、铜的质量分数进行粗略测定。在科学老师的指导下，设计了如图所示的实验装置，选用了三种试剂：A．蒸馏水 B．锌、铜合金 C．稀硫酸。小王设计实验的基本思路是：利用合金与酸反应产生的气体，通过上述实验装置把水排到量筒中，读出量筒中水的体积(不考虑其它因素的影响，反应产生的气体体积即为量筒中水的体积)，可计算锌、铜合金中锌、铜的质量分数。

试回答下列问题：

(1)根据实验设计思路，实验时在广口瓶中加入一定量的蒸馏水，底部有小孔的试管中应加入 ▲ (填写试剂的相应字母标号)。

(2)小王同学在实验过程中选取了3g锌、铜合金与足量的稀硫酸，反应完全后，量筒中接收的液体的体积为0．1L，求锌、铜合金中锌的质量分数是多少?(氢气的密度为0．089g／L)

(3)如要测定部分被氧化成氧化锌的锌粒中锌单质的质量分数，能否用上述实验方法 ▲ (填“能”或“不能”)，请说明理由 ▲ 。

37．小刚家里有一台电热烘干机，工作原理如图所示。铭牌已变得模糊不清，只知道额定电压为220V。小刚为了知道该电热烘干机的额定电功率，把其他用电器关闭，只让电热烘干机在额定电压下工作(烘干物体)。图甲是电热烘干机工作前电能表的示数，图乙是电热烘干机工作6小时后电能表的示数(电热烘干机工作时电能全部转化为内能)。求：

(1)电热烘干机工作6小时消耗的电能是 ▲ 千瓦时。

(2)电热烘干机额定电功率是多大?

(3)电热烘干机发热体的电阻是多少?

38．材料一：中新浙江网5月8日电：2006年5月6日上午四川籍民工蔡某在衢州市人民医院传染病区死亡，临床诊断为狂犬病。蔡某曾在衢州柯城区白云街道回龙村一建筑工地打零工，1个多月前被狗咬过。针对狂犬病发病状况，衢州市人民政府办公室下发了关于迅速开展狂犬病防控工作的紧急通知：在全市范围内展开犬类普查，对存栏犬、猫进行摸底排查，实行犬类强制免疫。对未经免疫、有可疑症状的犬类进行强制扑杀并做无害化处理。

材料二：狂犬病(rabies)是狂犬病病毒所致的急性传染病，人畜共患，多见于犬(狗)、狼、猫等动物，预防狂犬病的方法为：首先，及时处理伤口，正确方法是用20％的肥皂水冲洗伤口。没有肥皂水，就地用清水冲洗伤口，绝对不能挤压吮吸伤口，也不可用土敷、姜擦等土办法；其次，尽早进行预防接种，注射狂犬疫苗和抗狂犬病血清，接种越早生命越安全。

阅读上述材料并分析回答问题：

(1)狂犬病是一种体表传染病，引起狂犬病的病原体是 ▲ 。

(2)在全市范围内开展犬(狗)类普查，从生态学的角度看，全市范围内的狗是一个 ▲ 。

A．群落 B．种群 C．生态系统 D．生态群

(3)注射狂犬疫苗和注射抗狂犬病血清，使人获得免疫的方法都属于特异性免疫，但它们是有区别的，请你简要说明。 ▲

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

集合元素的互异性：如： ， ，求 ；

（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；

；

（5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。

如： ，如果 ，求 的取值。

二、集合间的关系及其运算

（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；

符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2） ； ；

（3）对于任意集合 ，则：

① ； ； ；

② ； ；

； ；

③ ； ；

（4）①若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 ；

②若 被3除余0，则 ；若 被3除余1，则 ；若 被3除余2，则 ；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。

（2） 中元素的个数的计算公式为： ；

（3）韦恩图的运用：

四、 满足条件 ， 满足条件 ，

若 ；则 是 的充分非必要条件 ；

若 ；则 是 的必要非充分条件 ；

若 ；则 是 的充要条件 ；

若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；

五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；

注意：“若 ，则 ”在解题中的运用，

如：“ ”是“ ”的 条件。

六、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立，

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个

否定

正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个

否定

二、函数

一、映射与函数：

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。

函数 的图象与直线 交点的个数为 个。

二、函数的三要素： ， ， 。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法：

① ，则 ； ② 则 ；

③ ，则 ； ④如： ，则 ；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ；定义域为 。

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

求下列函数的值域：① （2种方法）；

② （2种方法）；③ （2种方法）；

三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）

复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法

应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）

平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。

对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称

y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数）

伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

如： 的图象如图，作出下列函数图象：

（1） ；（2） ；

（3） ；（4） ；

（5） ；（6） ；

（7） ；（8） ；

（9） 。

五、反函数：

（1）定义：

（2）函数存在反函数的条件： ；

（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；

（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系： ；

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

如：求下列函数的反函数： ； ；

七、常用的初等函数：

（1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数；

（2）一元二次函数：

一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；

两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；

顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；

①一元二次函数的单调性：

当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数；

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式，

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。如：

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．

③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：

根的情况

等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根

充要条件

注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。

（3）反比例函数：

（4）指数函数：

指数运算法则： ； ； 。

指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

（5）对数函数：

指数运算法则： ； ； ；

对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

注意：（1） 与 的图象关系是 ；

（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

（3）已知函数 的定义域为 ，求 的取值范围。

已知函数 的值域为 ，求 的取值范围。

六、 的图象：

定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。

七、补充内容：

抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

① 正比例函数

② ； ；

③ ； ；

④ ；

三、导 数

1．求导法则：

(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为0。

(xn)/=nxn－1 特别地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k•f(x))/= k•f/(x)

2．导数的几何物理意义：

k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。

V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。

3．导数的应用：

①求切线的斜率。

②导数与函数的单调性的关系

一 与 为增函数的关系。

能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ，∴ 是 为增函数的充分不必要条件。

二 时， 与 为增函数的关系。

若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件。

三 与 为增函数的关系。

为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

四单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域（2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。

③求极值、求最值。

注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。

f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。

但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0

判断极值，还需结合函数的单调性说明。

4.导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

四、不等式

一、不等式的基本性质：

注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小

二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若 ，则 （当且仅当 时取等号）

基本变形：① ； ；

②若 ，则 ，

基本应用：①放缩，变形；

②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当 （常数），当且仅当 时， ；

当 （常数），当且仅当 时， ；

常用的方法为：拆、凑、平方；

如：①函数 的最小值 。

②若正数 满足 ，则 的最小值 。

三、绝对值不等式：

注意：上述等号“＝”成立的条件；

四、常用的基本不等式：

（1）设 ，则 （当且仅当 时取等号）

（2） （当且仅当 时取等号）； （当且仅当 时取等号）

（3） ； ；

五、证明不等式常用方法：

（1）比较法：作差比较：

作差比较的步骤：

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……

（4）反证法：正难则反。

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如： ；

⑵将分子或分母放大（或缩小）

⑶利用基本不等式，如： ；

⑷利用常用结论：

Ⅰ、 ；

Ⅱ、 ； （程度大）

Ⅲ、 ； （程度小）

（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：

已知 ，可设 ；

已知 ，可设 ( )；

已知 ，可设 ；

已知 ，可设 ；

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

六、不等式的解法：

（1）一元一次不等式：

Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；

Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；

（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论：

（5）绝对值不等式：若 ，则 ； ；

注意：(1).几何意义： ： ； ： ；

(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ；

(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

⑴ ；⑵ ；

⑶ ；⑷ ；

（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（8）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要分 、 、 讨论。

五、数列

本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；

③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整

体思想求解.

（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn= Sn=

三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。

25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。

26. 在等差数列 中：

（1）若项数为 ，则

（2）若数为 则， ，

27. 在等比数列 中：

（1） 若项数为 ，则

（2）若数为 则，

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列{an}的最大、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值.

(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

六、平面向量

1．基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：

(1) ．

(2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）．

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = －

且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．

向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律)+( +c)=( + )+c （结合律）

+0= ＋(－ )=0.

3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜

(2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0．

(3)若 =（ ），则 · =（ ）．

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．

(2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2．

4．P分有向线段 所成的比：

设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。

当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；

分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1）， 中点坐标公式： ．

5． 向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：

若 =（ ）,b=（ ）则e· = ·e=｜ ｜cos (e为单位向量)

⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）｜ ｜=

cos = = ．

(4) ．向量的数量积的运算律：

·b=b· ( )·b= ( ·b)= ·( b)( ＋b)·c= ·c+b·c．

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

七、立体几何

1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面

①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？

④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}

⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.

4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）

(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；

②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法?

具体的公式

http://www.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html

高中数学公式大全

http://www.xyjy.cn/Article/UploadFiles/200510/20051013100307519.doc

高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

, .

2.德摩根公式

.

3.包含关系

4.容斥原理

.

5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有 –2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式

(2)顶点式

(3)零点式 .

7.解连不等式 常有以下转化形式

.

8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若 ，则 ；

， ， .

(2)当a<0时，若 ，则 ，若 ，则 ， .

10.一元二次方程的实根分布

依据：若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根 .

设 ，则

（1）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ；

（2）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ；

（3）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .