易拉罐最优设计

那起来方便,而且体积大如你所愿，下面是有关资料

易拉罐的相关数据（铝质包装）

品种 高（cm） 底面半径（cm） 体积（cm3）

双鹿啤酒 11.9 3.15 350

椰子汁 13.2 2.65 250

旺仔牛奶 8.5 3.2 245

露露饮料 16.8 3.2 500

健力宝 10.2 3.25 330

有关易拉罐制造成本问题的数学建模及计算过程

假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种饮料所用的材料最少则成本就越低，也就最合理，

① 易拉蓿ㄋ�蛊【疲┑谋砻婊斋=2π×3.15×11.9+2π×3.152≈297.8（cm2）

每立方厘米啤酒所需包装材料是297.8/350=0.85（cm2）

② 易拉罐（椰子汁）的表面积S=2π×2.65×13.2+2π×2.652≈264（cm2）

每立方厘米椰子汁所需包装材料是264/250=1.06（cm2）

③ 易拉罐（旺仔牛奶）的表面积S=2π×3.2×8.5+2π×3.22≈235（cm2）

每立方厘米旺仔牛奶所需包装材料是235/245=0.96（cm2）

④易拉罐（露露饮料）的表面积S=2π×3.2×16.8+2π×3.22≈402（cm2）

每立方厘米露露饮料所需包装材料是402/500=0.804（cm2）

⑤易拉罐（健力宝）的表面积S=2π×3.25×10.2+2π×3.252=274（cm2）

每立方厘米健力宝饮料所需包装材料是274/330=0.83（cm2）

从上面五种饮料的计算结果可以看出，在相同体积的情况下，露露饮料所用的材料要比其它饮料的少，即节省了资源。

那么，从节省资源的角度来说，何种设计是最合理的呢？

设易拉罐的高为h，底面圆半径为r，由圆柱的体积公式V=

πr2�6�1h，得h=V/πr2，又易拉罐的表面积S=2πr2 +2πr h，所以S=2πr2 +2V/r

按设计要求知，体积V是常数，半径r是变量，表面积S是r的函数，故问题转化为数学问题：当r取何值时函数S取最小值？

由S=2πr2 +2V/r =2πr2 + V/r + V/r≥3 3 2πr2 �6�1(V/r)�6�1(V/r)=33 2πV2, 当且仅当2πr2 = V/r ，即r =3V/2π时，易拉罐具有最小的表面积33 2πV2 ，此时易拉罐的高h =2r。也即当易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料最少。

2006年全国大学生数学建模竞赛c题优秀论文 易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。 模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml进行验算，算得 ， 与市场上净含量为355ml的测得的数据基本接近。 模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO软件仍用容积为360 ml进行验算，算得 ，，， ，高之和约为直径的两倍。 模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。 关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台

圆柱的半径 3.305

圆台上表面半径 2.885

罐的总高度 12.310

圆柱的高度 10.210

顶盖的厚度 0.028

侧壁的厚度 0.011

下底的厚度 0.021

单位均为cm

按照最优化设计一般易拉罐的直径和高度之比为1:2

一、符号说明 :h易拉罐的总高度；

b：罐壁的厚度；

b1：顶盖的厚度；

b2：底盖的厚度；

r:易拉罐中间柱体的内半径；

r1：顶盖的半径；

r2：底盖的半径；

h1：易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离；

h2：易拉罐底端到圆柱部分底端的垂直距离；

h3：易拉罐底盖的拱高；

A:制作易拉罐所用材料的总体积；

V:罐装饮料的容积（由于半径和高度都远远大于易拉罐材料的厚度，即可将易拉罐的体积看成是容积）；

二、模型假设（1）易拉罐为无损坏的净含量355ml的可口可乐饮料罐；

（2）不考虑温度对易拉罐形状和尺寸设计的影响；

（3）不考虑罐内气体压强对易拉罐形状和尺寸设计的影响；

（4）不考虑接缝折边的长度L；

（5）长度的量纲为毫米。

三、模型分析、建立与求解

取一个无损坏净含量355ml的可口可乐饮料罐，利用千分卡尺测量我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据。并把所测得的数据用表一加以说明。表一如下：

①测量认为验证模型所需要的数据

检测部位 可口可乐罐均值（单位：毫米）

易拉罐的总高度(h )122.90      易拉罐顶盖的厚度( b1) 0.31             易拉罐底盖的厚度( b2)0.30

易拉罐罐壁的厚度(b ) 0.15     易拉罐中间柱体的半径（r ）31.75   易拉罐顶盖的半径(r1 )29.07

易拉罐底盖的半径( r2)26.75   易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离( h1)13.00

易拉罐底端到圆柱部分底端的垂直距离(h2 )7.30                              易拉罐底盖的拱高(h3 )10.10

②易拉罐为正圆柱体时的最优模型：将饮料罐假设为正圆柱体，如图所示。

事实上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化问题确实是近似的、合理的。要求饮料罐容积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。在这种简化下显然有r =r1 =r2 ，由假设得到 V=πr2h 。

我们生产一件容器，都希望可以用最省的材料，来装一定体积的液体。或者说，用同样的材料，做成的容器的容积最大。

在平面几何里，我们学过计算圆面积以及一些正多边形的面积或周长的方法。例如：一个面积为100平方厘米的正方形的周长是40厘米；而同样面积的正三角形的周长大约等于45.6厘米；而同样面积的圆的周长只有35.4厘米。也就是说，面积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的周长比较小，圆的周长最小。因此，装同样体积的液体的容器中，假如容器的高度一样，那么，侧面所需的材料以圆柱形的容器最为节省。所以，汽油桶、热水瓶等装液体的容器，都是圆柱形的。

有没有比圆柱形更为省料的形状呢?有的。依据数学原理，用相同的材料做的一些容器中，球形的容器的容积总要比圆柱形的大。就是说，做球形的容器，能节约材料。但是，因为球形的容器易滚动，而且放不稳，而且它的盖子也不容易做，因此不实用。

放固体的容器，例如盒子、箱子、柜子等，为什么不去做成圆柱形的呢?尽管做圆柱形的容器相当省料，然而，装起固体东西来却不经济，因此通常把它们做成长方体的。

主要是考虑到要用最少的材料同时又使得它的容积最大。也就是说，当面积一定的情况下，使它所围成的体积最大。设面积为S，易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高分别为d，h，那么就有：1/4 ×π×d^2+2πd×h=S 同时V＝π×d^2×h

把上面公式中的h解出代人V中使得V最大 ，可求出d，h的比值

按照帆船设计的。把三个易拉罐用双面胶纸基本固定；两边用筷子和橡皮条固定；中间的易拉罐钻哥小孔，插上一条筷子；制作一个彩帆，记住上下个开个小孔，用于稍后放在帆杆上；用红头绳固定帆杆，并放上彩帆。