八年级上册数学函数的概念教案

课 题： 指数函数的定义

【目标】

1．通过实际问题了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.

2．在学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法.

3．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活得哲理；培养学生观察问题、分析问题的能力.

【重点】

指数函数定义及其理解.

【教学难点】

指数函数的定义及其理解.

【教学步骤】

（一）引入课题

引例1 任何有机体都是由细胞作为基本单位组成的，每个细胞每次分裂为2个，则1个细胞第一次分裂后变为2个细胞，第二次分裂就得到4个细胞，第三次分裂后就得到8个细胞……

问题： 1个细胞分裂 次后，得到的细胞个数 与 的关系式是什么？

分裂次数 细胞个数

由上面的对应关系，我们可以归纳出，第 次分裂后，细胞的个数为 .

这个函数的定义域是非负整数集，由 ，任给一个 值，我们就可以求出对应的 值.

引例2 一种放射性元素不断衰变为其他元素，每经过一年剩余的质量约为原来的84%.

问题：若设该放射性元素最初的质量为1，则 年后的剩余量 与 的关系式是什么？

时间 剩余质量

经过1年

经过2年

经过3年

由上面的对应关系，我们可以归纳出，经过 年后，剩余量 .

问题：上面两个实例得到的函数解析式有什么共同特征？

它们的自变量都出现在指数位置上，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们称这样的函数为指数函数.

(二)讲授新课

1．指数函数的定义：

一般地，形如 的函数，叫做指数函数，其中 是自变量, 是不等于1的正的常数．

说明：（1）由于我们已经将指数幂推广到实数指数幂，因此当 ＞0时，自变量 可以取任意的实数，因此指数函数的定义域是R，即 .

(2)为什么要规定底数 呢.

因为当 时，若 ，则 恒为0；若 ≤0，则 无意义.

而当 时， 不一定有意义，例如 ， 时， 显然没有意义.

若 时， 恒为1，没有研究的必要.

因此，为了避免上述情况，我们规定 .注意：此解释只要能说明即可，不必深化，也可视学生情况决定是否向同学解释.

练一练：

下列函数中，哪些是指数函数？

分析：紧扣指数函数的定义，形如 函数叫做指数函数，即 前面的系数为1， 是一个正常数，指数是 .

解： ， ， ， 都是指数函数，其余都不是指数函数.

(三)典型例题

例1 已知指数函数 ，求 ， ， ， 的值.

解： ；

例2 已知指数函数 ，若 ，求自变量 的值.

解：将 代入 ，得

即 ，

所以 .

例3 设 ，若 ，求 的值.

解：由已知，得

即 ，

因为 ，

所以 .

(四)课堂练习

1．已知指数函数 ，求 ， ， ， 的值.

2．已知指数函数 ，若 ，求自变量 的值.

(五)课堂小结

1.指数函数的定义；

2.研究函数的方法.

(六)课后作业

教材P102练习 1，2，3.

(七)板书设计

指数函数的定义

【教学设计说明】

1．本节课的教学，首先从实际问题引入指数函数的概念，这样既说明指数函数的概念来源于生活实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识.由于本节课是指数函数的起始课，只介绍了指数函数的定义，因此应让学生在理解概念的基础上，落实所学知识.在例题方面，选取紧密联系函数解析式的三种类型题目.例1，已知自变量求函数值；例2，已知函数值求自变量，例3，已知指数函数经过某点确定底数 .通过这三方面例题的讲授，使学生对指数函数的解析式有一个较全面的理解，同时为后面指数函数的图像与性质的学习奠定基础.

2．本节课的教学过程：

（1）从实际问题引入，得到指数函数的概念；

（2）对指数函数的进一步理解；

（3）例题、练习、小结、作业.

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

学习目标

1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；

2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；

3. 理解多面体的有关概念；

4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P2~ P4，找出疑惑之处）

引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧!

二、新课导学

※ 探索新知

探究1：多面体的相关概念

问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?

新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：

探究2：旋转体的'相关概念

问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？

新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:

探究3：棱柱的结构特征

问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?

新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）

试试1： 你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？

新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…

②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.

试试2： 探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢?

新知5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱 ? .

探究4：棱锥的结构特征

问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？

新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥 .

探究5：棱台的结构特征

问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢?

新知7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.

试试3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.

反思：根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？

※ 典型例题

例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？

三、提升

※ 学习小结

1. 多面体、旋转体的有关概念；

2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.

※ 知识拓展

1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；

2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；

4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）.

A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体

2. 棱台不具有的性质是（ ）.

A.两底面相似 B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点

3. 已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）.

A.

B.

C.

D.它们之间不都存在包含关系

4. 长方体三条棱长分别是 =1 =2， ，则从 点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是_____________.

5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________.

课后作业

1. 已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高(侧面三角形的高)SM=n，求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积.

2. 在边长 为正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为 .问折起后的图形是个什么几何体？它每个面的面积是多少？

高中数学第一单元三角函数教学设计

第二十四教时

教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式

目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。

过程：

一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：

例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 + 

(《教学与测试》P115 例三)

解： ∴

又∵tan2 <0，tan <0 ∴ ，

∴ ∴2 +  =

例二、 已知sin  cos = ， ，求 和tan的值

解：∵sin  cos = ∴

化简得： ∴

∵ ∴ ∴ 即

二、 积化和差公式的推导

sin( + ) + sin(  ) = 2sincos  sincos = [sin( + ) + sin(  )]

sin( + )  sin(  ) = 2cossin  cossin = [sin( + )  sin(  )]

cos( + ) + cos(  ) = 2coscos  coscos = [cos( + ) + cos(  )]

cos( + )  cos(  ) =  2sinsin  sinsin =  [cos( + )  cos(  )]

这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。(在告知公式前提下)

例三、 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32

证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2

=  (cos4  cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2

=  cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2

= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)

= cos22cos22 = cos32 = 右边

∴原式得证

三、 和差化积公式的推导

若令 +  = ，   = φ，则 ， 代入得：

∴

这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。

例四、 已知cos  cos  = ，sin  sin = ，求sin( + )的值

解：∵cos  cos  = ，∴ ①

sin  sin  = ，∴ ②

∵ ∴ ∴

∴

四、 小结：和差化积，积化和差

五、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3

P38—39 例题推荐 1—3

P40 例题推荐 1—3

高中数学三角函数的诱导公式教学设计

1 教材分析

1.1 教材的地位与作用

本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§2.6节内容.它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据.是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带.求三角函数值是三角函数中的重要内容.诱导公式是求三角函数值的基本方法.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90”角的三角函数值问题，诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式.这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义

1.2 教学重点与难点

1.2.1 教学重点

诱导公式的推导及应用

1.2.2 教学难点

相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.

2 目标分析

根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标如下

2.1 知识目标

1)识记诱导公式.

2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.

2.2 能力目标

1)通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.

2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.

3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.

2.3 情感目标

1)通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.

2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.

3 过程分析

3.1 创设问题情境，引导学生观察、联想，导入课题

1)提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征.

2)板书：诱导公式(一).

sin(k·360°+α)=sinα，cos(k·360°+α)=cosα.

tan(k·360°+α)=tanα，cot(k·360°+α)=cotα(k∈Z)

结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等.

②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题.

教学设想 通过提问让学生温习、重视已有相关知识，为学生学习新知识作铺垫.

3)学生练习：试求下列三角函数值

sin1110°，sin1290°.

教学设想 由已有知识导出新的问题，为学习新知识创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲，启迪学生思维的火花.

4)介绍单位圆概念后，引导学生观察演示(一)并思考下列问题：

①210°能否用(180°+α)的形式表达(0°<α<90°)?(210°=180°+30°)

②210°与30°角的终边位置关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)

③设210°，30°角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何?(关于原点对称)

④设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(-x，-y)]

⑤sin210°与sin30°的值的关系如何?

教学设想 通过微机动态演示，引导学生发现210°与30°角的终边及其与单位圆交点关于原点对称关系，借助三角函数定义，寻找sin210°与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数值的目的.

学生通过主动探索、发现解决问题的途径，体验和领会数形结合与归纳转化的数学思想方法.

5)导入课题

对于任意角α，sinα与sin(180°+α)的关系如何呢?试说出你的猜想.

3.2 运用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳、推导公式

1)引导学生观察演示(二)并思考下列问题：

①α与(180°+α)角的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)

②设α与(180°+α)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何?(关于原点对称)

③设点P(x，y)，那么点P'的坐标怎样表示?[P'(-x，-y)]

④sinα与sin(180°+α)，cosα与cos(180°+α)关系如何?

⑤tanα与tan(180°+α)，cotα与cot(180°+α)关系如何?

⑥经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何?

2)板书诱导公式

sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα，

tan(180°+α)=tanα，cot(180°+α)=cotα.

结构特征：①函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时).

②把求(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.

教学设想 激发学生做出猜想后，启发学生把特殊问题(求sin210°值)与一般问题进行类比，实现方法迁移，引导学生观察演示，发现角α与(180°+α)的终边及其与单位圆交点关于原点的对称关系，把求角(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.对学生进行归纳思维训练，培养学生归纳思维能力.

微机的动态演示，使学生对“α为任意角”有准确的认识，初步体验从特殊到一般的归纳推理形式，领会数学的归纳转化思想和方法.

3)基础训练题组一

求下列各三角函数值(可查表)：

②试求sin[180°+(-210°)]的值

分析：

对于问题②学生可能出现的情况为：

sin[180°+(-210°)]=-sin(-210°)，

或sin[180°+(-210°)]=sin(-30°).

(至此，大多数学生已无法再运算)

教学设想 在新的知识的基础上又导出新的未知，又一次创设问题情境，把学生的学习兴趣进一步推向高潮，激励学生要敢于迎接挑战、战胜困难、不断追求、陶冶情操、锻炼意志.

4)引导学生观察演示(三)，并思考下列问题：

①30°与(-30°)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)

②设30°与(-30°)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何?(关于x轴对称)

③设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(x，-y)]

④sin(-30°)与sin30°的值关系如何?

教学设想 引导学生把求sin210°问题与sin(-30°)进行类比，实现方法迁移.通过微机动态演示，发现-30°与30°角的终边及其与单位圆交点关于x轴对称的关系.借助三角函数定义，寻找sin(-30°)与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数的值的目的.

5)导入新问题：对于任意角α，sinα与sin(-α)的关系如何呢?试说出你的猜想?

6)引导学生观察演示(四)并思考下列问题：(设α为任意角)

①α与(-α)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)

②设α与(-α)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何?(关于x轴对称)

③设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(x，-y)]

④sinα与sin(-α)，cosα与cos(-α)关系如何?

⑤tanα与tan(-α)，cotα与cot(-α)的关系如何?

7)学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评.

8)板书诱导公式

sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα.

tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα.

结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角)

把求(-α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.

9)基础训练题组(二)：求下列各三角函数值(可查表)

③cos(-240°12')④cot(-400°).

3.3 构建知识系统、掌握方法、强化能力

课堂小结：(以提问、填空形式让学生自己完成)

1)诱导公式：

sin(k·360°+α)=sinα.

cos(k·360°+α)=cosα.

tan(k·360°+α)=tanα.

cot(k·360°+α)=cotα.(k∈Z)

sin(180°+α)=-sinα.

cos(180°+α)=-cosα.

tan(180°+α)=tanα.

cot(180°+α)=cotα.

sin(-α)=-sinα.

cos(-α)=cosα.

tan(-α)=-tanα.

cot(-α)=-cotα.

2)公式的结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时)

3)方法及步骤：

教学设想 通过提问、填空的形式，引导学生概括归纳已有知识，形成知识系统，发现知识规律及其结构特征，深化对诱导公式内涵和实质的理解，强化记忆.

挖掘知识系统体现数学的归纳转化思想方法，培养学生的概括抽象能力，形成知识网络和方法网络.

4)能力训练题组：(检测学生综合运用知识能力)

5)课外思考题.

①求下列各三角函数值：

6)作业与课外思考题

作业：P162习题十三(1)—(6)

教学设想 通过能力训练题组和课外思考题检测学生综合运用知识的能力，培养学生的创造性思维能力，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.

为学生课外留下“余音”，培养学生养成自觉学习、积极探索的良好学习习惯，为下一节课学习诱导公式(四)、(五)作准备.

4 教法分析

根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课采用了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法.

4.1 利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.

4.2 由(180°+30°)与30°，(-30°)与30°终边对称关系的特殊例子，利用多媒体动态演示，学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想，引导学生进行问题类比、方法迁移，发现任意角α与(180°+α)，-α终边的对称关系，进行从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力.

4.3 采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识和创新精神，培养学生的思维能力.

4.4 通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式(一)、(二)、(三)的应用进一步拓广，为演绎推导诱导公式(四)、(五)做好理论依据准备，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力.

5 评价分析

本节课教学过程中通过问题设疑，引导学生循序渐进的从特殊到一般进行联想、类比、归纳，发现数学公式，体现以教师为主导，学生为主体，积极思维的学习过程.

在问题类比、方法迁移、归纳推理的思维训练过程中，师生的信息交流畅通，反馈及时，评价及时，矫正及时，学生思维活跃，教学活动始终处于教师期望控制中.

5 教案设计说明

5.1 关于本节课教学指导思想

归纳推理是发现和获得知识的基本思维形式，拉普拉斯曾说：“发现真理的主要工具也是归纳和类比”.归纳思维在形成创新意识中具有特殊的重要的地位，归纳思维往往获得的是开拓性的创造(再创造).三角函数求值是三角函数中重要问题之一，诱导公式是解决此类问题的基本方法.教学过程中，通过问题设疑、多媒体动态演示等教学措施，创设问题情境，引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比、归纳出具有普遍的、一般的整体性质.体现了学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，促使学生积极思维主动探索，勇于发现，敢于创新.通过从特殊到一般的归纳思维训练，学生主动地获得新的知识，并在获得知识的过程中，形成良好的思维品质，发展学生的思维能力.

5.2 关于教学过程的设计

1)重现已有相关知识，为学习新知识作好铺垫.

2)思维总是从问题开始的，在sin1290°的求值过程中，从已知到未知，引发新的问题，营造氛围，引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲.

3)数学的思想方法是数学素质的核心，由sin210°的求值过程，把未知转化为已知，引导学生发现推导诱导公式的方法和途径，领会数学的归纳转化思想方法.

4)通过多媒体直观动态的演示，从特殊到一般完成所有情况的分类，引导学生联想，进行问题类比、方法迁移、归纳推理出具有普遍性的结论，形成公式，进行归纳思维训练.

5)通过分析诱导公式的结构特征，强化对诱导公式的理解和记忆，深刻领会诱导公式的内涵和实质.构建知识系统，培养学生的概括抽象能力.

6)通过基础训练题组和课外思考题的练习，掌握解决问题的方法，形成技能，提高学生分析问题和解决问题的能力.

高中数学二倍角的三角函数教案设计

一、知识与技能

1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.

2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。

3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。

二、过程与方法

1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣

2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

三、情感、态度与价值观

1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

2.培养用联系的观点看问题的观点。

【教学重点与难点】：

重点：半角公式的推导与应用(求值、化简、证明)

难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。

【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。

引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

二、研探新知

四、巩固深化，反馈矫正

五、归纳整理，整体认识

1.巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。

2.熟悉"倍角"与"二次"的关系(升角--降次，降角--升次).

3.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.

5.注意公式的结构，尤其是符号.

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计(略)

八、课后记：略

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教学目标

1、会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列一些简单问题提高分析、解决实际问题的能力。

2、通过公式的灵活运用，进一步渗透分类讨论的思想、等价转化的思想。

函数的单调性

知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。

能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：

教学重点：函数单调性的有关概念的理解

教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性

教 具： 多媒体课件、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境，导入课题

[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：

问题1：气温随时间的增大如何变化？

问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

[引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。

结论：（1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升；

（2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的.增大而增大。

上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。

二、给出定义，剖析概念

①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当<时，都有f()<f(),则f(x)在这个区间上是增函数（如图3）；

⑵若当<时，都有f()>f(),则f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）。

②单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。

注意：

（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) y随x增大而增大；当x1f(x2)y随x增大而减小。

几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。

（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。

判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)>f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。（×）

函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。

训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：

三、范例讲解，运用概念

例1 、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。

注意：

（1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

（2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：

证明：设任意的，且，则

由，得

于是

即。

所以，在R上是增函数。

分析证明中体现函数单调性的定义。

利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2

②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形

③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号

④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）

即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

例3、 证明函数在(0,+)上是减函数.

证明：设，且，则

由，得

又由，得，

于是即。

即。

所以，函数在区间上是单调减函数。

问题1 ：在上是什么函数？(减函数)

问题2 ：能否说函数在定义域上是减函数？ （学生讨论得出）

四、课堂练习，知识巩固

课本59页 练习：第1、3、4题。

五、课堂小结，知识梳理

1、增、减函数的定义。

函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明：

证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。

六、布置作业，教学延伸

课本60页 习题2.3 ：第4、5、6题。

一次函数是初中数学常考的内容之一，下面我为你整理了初中数学一次函数教案，希望对你有帮助。

教学目标

1、经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。 2、理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的数学应用能力。

教学重点 1、 一次函数、正比例函数的概念及两者之间的关系。 2、 会根据已知信息写出一次函数的表达式。教学难点一次函数知识的运用教学方法教师引导学生自学法教具准备弹簧一根、

课件教学过程

一、创设问题情境，引入新课 1、 简单复习函数的概念(设在某一变化过程中有两个变量X和Y，如果 ，那么我们称Y是X的函数，其中X是自变量，Y是因变量) 2、 演示弹簧在力的作用下发生形变现象，提出问题：在弹簧长度发生变化过程中，弹簧的长度是哪个变量的函数?为什么? 3、 汽车匀速行驶途中，油箱中的剩余油量与什么有关系?这其中有函数吗?

二、新课学习 1、 做一做。让学生做书上157页上面两个题目，使学生在探索一般规律的过程中，发展抽象思维能力。 2、 一次函数、正比例函数的概念学习讨论：刚才写出的两个关系式y=3+0.5x、y=100-0.18x在形式上有什么相同之处?

让学生分析出他们的共同点：①左边都是因变量，右边都是含自变量的代数式②自变量X与因变量Y的次数都是1③从形式上看，形式都为y=kx+b，K，b为常数。

问：从自变量的次数上看，这样的函数大家认为可以取个什么名字?引导学生归纳出一次函数的概念：若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量，y是因变量)。

问:一次函数y=kx+b中，k可以为0吗?b可以为0吗?引导学生得出正比例函数的概念。

并接着引导学生比较一次函数与正比例函数的关系(用集合的方法比较)：一次函包括正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况。

3、 例题学习

例题1是考察学生对一次函数与正比例函数概念的理解，学生直接进行口答。

例题2是培养学生根据题意列出简单一次函数关系式及利用一次函数解决实际问题的能力。其中第三问严格地讲应先判断出工资的范围是800

三、随堂练习

1、找出下面的一次函数，并指出其中K、b的值。若不是一次函数，请说明理由。

A、y= +x B、y=-0.8x C、y=0.3+2x2 D、y=6-

2、已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m ，y是x的一次函数当m ，y是x的正比例函数。

四、拓展应用

学校组织部分学生去井岗山体验革命历史。出行方面准备从甲、乙两家旅行社中选择一家代办，已知两家旅行社报价相同，都是每人200元。不过，甲旅行社开出的团体(15人以上)优惠办法是返还现金500元作为门票费，乙旅行社的团体优惠是，所有人员费用均打9折。设学生人数为x人，两家旅行社的收费分别为y甲、y乙，解答下列问题：(1)分别写出两家旅行社收费y(元)与学生人数x(人)之间的函数关系式该关系式是什么函数?(y甲=200x-500，y乙=180x)(2)如果学生为20人，分别计算两家旅行社收费。到哪家合算?(y甲=200×20-500=3500(元)y乙=180×20=3600(元)y甲<y乙，所以到甲旅行社合算。)(3)在什么情况下，选择乙旅行社?(依题意得， y甲- y乙>0，即(200x-500) -180x>0，解不等式得，x>25，所以当学生多于25人时，到乙旅行社合算。)五、课堂小结

让学生归纳本节课学习内容：1、一次函数、正比例函数概念以及它们之间的关系。2、会根据已知信息写出一次函数的关系式。

六、作业读一读：中国古代漏刻必做题：161页习题6.2第1、2、3题选做题：161页试一试

“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。教学完后，对新教材有了一些更深的认识。

精心备课

备课过程是一种艰苦的复杂的脑力劳动过程，知识的发展、教育对象的变化、教学效益要求的提高，使作为一种艺术创造和再创造的备课是没有止境的，一种最佳教学方案的设计和选择，往往是难以完全使人满意的。

一：教材课时安排过紧有关。初二教材的教学时间不够，教参函数第一节第二节二节课，第三节一次函数节，课时太少，本节要加一个复习课

二：教学内容不好处理。

“一次函数的性质”中无b对函数的图象的影响，但题中有，要补讲

环节二：概括一次函数图象的性质

一次函数y=kx+b有下列性质：

(1) 当k>0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____

(2) 当k<0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____.

(3)当b>0时，这时函数的图象与y轴的交点在：

(4)当b>0时，这时函数的图象与y轴的交点在：

待定系数法的引入上用“弹簧的长度 y(厘米)”来讲的，太难，要先讲书上的“做一做：“已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1，1)和点(1，-5)，”

三：难度不好处理：

如我们在讲一次函数的定义时(第一课时)补充了一个例题：已知函数y= 当m取什么值时，y是x的一次函数?当m取什么值是，y是x的正比例函数。”

学生难以理解，我个人认为太难，超出了学生的理解能力。反而对一个具体的一次函数y=-2x+3中k，b是多少强调的不多。

满意之笔

一次函数有以下令自己较满意的地方：

一. 结合生活实例，充分调动学生学习的激情，恰当的过渡，点燃其求知的欲望。

在本节课的引入部分采用班级里的真人真事(运用校运动会的具体事例) “在此跑步过程中涉及到哪些量?”“假定每位选手各自都是匀速直线运动的，那速度、时间、路程之间有什么关系?”“路程是时间的一次函数吗?”等过渡性的问句既复习回顾了上节课的知识又为一次函数图像的概念引出作了铺垫。

二.大胆对教材作大幅度调整、修改

对知识内容的完整性作了补充。

(附一次函数的图象的知识要点：一次函数几何形状：一条直线一次函数图象的画法一次函数图象与坐标轴的交点坐标。)教材对“一次函数图象的画法”阐释得不太完整、详尽。学习函数的图象需要培养学生数形结合的思想，一次函数图象又是所有函数图象中最简单的一种，是以后学习其他复杂函数的基础，所以整体全面地学习一次函数的图象能为学生以后学习其他复杂函数提供思路样本、节省学习时间。虽然在课后的习题与作业本中都有涉及到：当一次函数的自变量限制在某一范围时如何画此一次函数的图象，但在教材中似乎没有涉及到此类问题，对于B班的学生需要教师对此类问题做相关示范解决。(1)求 y1 关于 x 的函数关系式及自变量x的取值范围(2)画出上述函数的图像。图像还是一条直线吗?此题为拓展知识点：当一次函数的自变量限制在某一范围时一次函数的图象是一条射线或线段而特地设计的。至于如何快速地画出射线或线段呢，让学生讨论后给出总结：对于射线，取起点与另一个异于起点的任一点画出射线对于线段，取线段的两个端点然后连接即可。

不足之处

一、时间把握不准。由于我在原教材的基础上加宽了知识点的面，拓展了知识点的深度，个别环节还需要小组活动或学生个别上台动手操作，而我又想将这所有的内容在一节课内完成，似乎太高估了自己和学生的能力。所以我想这么多内容可以更宜分开两节课来上。

二、部分内容上处理出现失误：初探索一次函数y=x的画法时，我直接自己硬性规定先取这样五个点：(-2,-2), (-1,-1) , (0,0) , (1,1) , (2,2),而没有先征求学生的意见，看看他们是怎么取的，也没有解释为什么要取这五个点(理由应是：这五个点分布均匀，它们的坐标较简单，有代表性)