为什么要在极差分析方差分析之后还要进行正交回归设计

回归正交设计中取值最低的水平是下水平。在一次回归正交设计中，除了各因素取上水平和下水平以外，还要设置零水平。其各试验因素取值最高的那个水平称为上水平，以Z2j表示，取值最低的那个水平称为下水平，以Z1j表示，两者之算术平均数称为零水平，以Z0j表示。

一次回归正交设计二次回归组合设计各有优缺点如下：

1、利用正交试验设计安排试验，运用回归分析方法处理数据。

2、数据点分布均匀，结论的可靠性较好。

3、试验处理数少。

4、保持一定剩余自由度，以便进行显著性检验。

要考虑。

二次的正交设计用得较少，但是需要考虑。多数情况下是利用二水平正交表安排多因素试验，各因素水平上限及下限确定后取线性变换。

二次回归正交设计是一种具有正交、回归、均匀和较好饱和程度的一种试验设计方法，其特点是能以较少的试验获得较大量的信息，并可得出试验目标与各试验因素之间的一次效应。

二次回归正交组合设计及其统计分析

一、组合设计

（一）组合设计的概念

组合设计：在自变量（因素，也称因子）空间中选择几种类型的点，组合成的试验计划。（P.31）

由于组合设计可选择多种类型的点，而且有些类型的点的数目（试验处理数）又可适当调节，因此组合设计在调节试验处理数N（从而在调节剩余自由度 ）方面，要比全面试验灵活得多。

（二）组合设计的组成

二次回归正交组合设计试验方案由三种类型的点组成，即：

式中：N为处理组合数； 为二水平析因点， （p为因素个数）； 为轴点， ； 为中心区（或原点）。

① 二水平析因点（ ）：这些点的每一个坐标（自变量）都各自分别只取1或-1；这些试验点的数目记为 。当这些点组成二水平全面试验时， 。而若这些点是根据正交表配制的二水平部分实施（1/2或1/4等）的试验点时， 。调节了这个 ，就相应地调节了剩余自由度 。

② 轴点（ ）：这些点都在坐标轴上，且与坐标原点（中心点）的距离都为 。也就是说，这些点只有一个坐标（自变量）取 或 ，而其余坐标都取零。这些点在坐标图上通常用星号标出，故又称星号点。其中 称为轴臂或星号臂，是待定参数，可根据下述正交性或旋转性要求而确定。这些点的数目显然为2P，记为 。

③ 原点（ ）：又称中心点，即各自变量都取零水平的点，该试验点可作1次，也可重复多次，其次数记为 。调节 ，显然也能相应地调节剩余自由度 。

（三）试验点（处理）的分布情况

1、P=2（二因素）的分布情况

（1）处理组合数：若 =1，处理组合数为9，即

（2）处理组合表2.2.1。 （P.32）

（3）处理组合分布图2.2.1。 （P.31）

二因素（X1、X2）二次回归组合设计的结构矩阵如表2.2.2。 （P.32）

2、P=3（三因素）的分布情况

（1）处理组合数：若 =1，处理组合数为15，即

（2）处理组合表：P=3（X1、X2、X3）二次回归正交组合设计，由15个试验点组成。如表2.2.3所示。 （P.33）

（3）处理组合分布图2.2.2。 （P.32）

三因素（X1、X2、X3）二次回归组合设计的结构矩阵如表2.2.4。 （P.33）

（四）组合设计的优点

1、试验处理数少。

2、保持一定剩余自由度，以便进行显著性检验。

（五）组合设计正交性的实现

1、组合设计的正交性：部分保持正交，部分失去正交。

保持正交部分：

失去正交部分：平方项

2、正交的实现

（1）选取适当的轴臂 ： 可用下式计算 ：

为了设计方便，将由上式计算出不同P及 的 值列于表2.2.5。 （P.34-35）

（2）对平方项进行中心化变换： 为了获得正交性，将平方项 进行中心化变换，中心化变换值以 表示：

这样变换后的 项之间正交和 之间正交：

例：

①P=2， =1，查 值表2.2.5，得 =1， ，则中心化变换为：

的中心化变换为：

的中心化变换为：

于是得中心化变换后的二元二次回归正交组合设计的结构矩阵列于表2.2.6。 （P.35）

②P=3， =1，查 值表2.2.5，得 =1.215， ，则中心化变换为：

类似地可得出三元二次回归正交组合设计的结构矩阵列于表2.2.7。 （P.35-36）

三、二次回归正交组合设计示例

[例2.2] 某玉米氮肥、磷肥、钾肥配比试验，试进行二次回归正交组合设计，并对试验结果进行统计分析。（P.38）

（一）设计试验处理方案

1、拟定每个因素的上下水平

以该因素零水平施肥量为最佳施肥量为依据来确定上下水平。

上水平：高于最佳施肥量，比零水平高1/3~1/2左右。

下水平：低于零水平，可采用较少的施肥量或不施肥。

本例氮、磷、钾肥上下水平列于表2.2.9。 （P.38）

2、计算零水平：

3、计算变化间距

把上水平和零水平之差以参数 除之称为因素 的变化间距，以 表示。定义式为：

式中： 值是为了使试验计划获得正交性的一个待定参数。其 值可从表2.2.5。（P.34）查出。

本例：P=3， =1，则 =1.215，则 计算为：

4、对每个因素各水平取值进行编码变换

所谓编码就是对因素水平的取值作如下的线性变换：

这样，就建立了各因素 与 取值的一一对应关系，得到如表2.2.8的因素水平编码表（P.36）：

本例每个因素为5个水平，即+ ，+1，0，-1，- ，氮肥各水平编码值相应施肥量计算为：

N：

P2O5：

K2O：

将算出的氮、磷、钾各水平编码值相应的施肥量列于表2.2.10。 （P.39）

5、拟定试验处理方案

根据本例（三元二次回归正交组合设计）的要求，选用表2.2.7（P.35），将自变量各编码值相应肥料施用量填入表2.2.7的X1、X2、X3编码值中，即设计成试验处理组合方案列于表2.2.11。 （P.39）

（二）试验结果的统计分析

试验结果列于表2.2.12。 （P.39-40）

1、建立三元二次多项式回归方程

如果研究P个因素，采用二次回归正交组合设计具有N个处理，其试验结果以 表示，则二次回归的数学模型为：

为了消除平方项与常数项间的相关性，对平方项进行中心化变换，则数学模型变为：

用样本估计时：

当P=3时，三元二次回归方程为：

要建立二次回归方程，必须计算出回归统计数 。由于二次回归的正交组合设计的结构矩阵具有正交性，因而它的信息矩阵A为：

于是二次回归方程的回归统计数 ，则

本例：

（1）列表计算回归统计数：根据试验结果列表计算各回归统计数于表2.2.12。 （P.39-40）

计算表的计算方法为：

① 计算 ：

② 计算 ：

③ 计算 ：

￥

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二次回归正交组合设计及其统计分析

二次回归正交组合设计及其统计分析

一、组合设计

（一）组合设计的概念

组合设计：在自变量（因素，也称因子）空间中选择几种类型的点，组合成的试验计划。（P.31）

由于组合设计可选择多种类型的点，而且有些类型的点的数目（试验处理数）又可适当调节，因此组合设计在调节试验处理数N（从而在调节剩余自由度 ）方面，要比全面试验灵活得多。

（二）组合设计的组成

二次回归正交组合设计试验方案由三种类型的点组成，即：

式中：N为处理组合数； 为二水平析因点， （p为因素个数）； 为轴点， ； 为中心区（或原点）。

① 二水平析因点（ ）：这些点的每一个坐标（自变量）都各自分别只取1或-1；这些试验点的数目记为 。当这些点组成二水平全面试验时， 。而若这些点是根据正交表配制的二水平部分实施（1/2或1/4等）的试验点时， 。调节了这个 ，就相应地调节了剩余自由度 。

② 轴点（ ）：这些点都在坐标轴上，且与坐标原点（中心点）的距离都为 。也就是说，这些点只有一个坐标（自变量）取 或 ，而其余坐标都取零。这些点在坐标图上通常用星号标出，故又称星号点。其中 称为轴臂或星号臂，是待定参数，可根据下述正交性或旋转性要求而确定。这些点的数目显然为2P，记为 。

③ 原点（ ）：又称中心点，即各自变量都取零水平的点，该试验点可作1次，也可重复多次，其次数记为 。调节 ，显然也能相应地调节剩余自由度 。

（三）试验点（处理）的分布情况

1、P=2（二因素）的分布情况

（1）处理组合数：若 =1，处理组合数为9，即

（2）处理组合表2.2.1。 （P.32）

（3）处理组合分布图2.2.1。 （P.31）

二因素（X1、X2）二次回归组合设计的结构矩阵如表2.2.2。 （P.32）

2、P=3（三因素）的分布情况

（1）处理组合数：若 =1，处理组合数为15，即

（2）处理组合表：P=3（X1、X2、X3）二次回归正交组合设计，由15个试验点组成。如表2.2.3所示。 （P.33）

（3）处理组合分布图2.2.2。 （P.32）

三因素（X1、X2、X3）二次回归组合设计的结构矩阵如表2.2.4。 （P.33）

（四）组合设计的优点

1、试验处理数少。

2、保持一定剩余自由度，以便进行显著性检验。

（五）组合设计正交性的实现

1、组合设计的正交性：部分保持正交，部分失去正交。

保持正交部分：

失去正交部分：平方项

2、正交的实现

（1）选取适当的轴臂 ： 可用下式计算 ：

为了设计方便，将由上式计算出不同P及 的 值列于表2.2.5。 （P.34-35）

（2）对平方项进行中心化变换： 为了获得正交性，将平方项 进行中心化变换，中心化变换值以 表示：

这样变换后的 项之间正交和 之间正交：

例：

①P=2， =1，查 值表2.2.5，得 =1， ，则中心化变换为：

的中心化变换为：

的中心化变换为：

于是得中心化变换后的二元二次回归正交组合设计的结构矩阵列于表2.2.6。 （P.35）

②P=3， =1，查 值表2.2.5，得 =1.215， ，则中心化变换为：

类似地可得出三元二次回归正交组合设计的结构矩阵列于表2.2.7。 （P.35-36）

三、二次回归正交组合设计示例

[例2.2] 某玉米氮肥、磷肥、钾肥配比试验，试进行二次回归正交组合设计，并对试验结果进行统计分析。（P.38）

（一）设计试验处理方案

1、拟定每个因素的上下水平

以该因素零水平施肥量为最佳施肥量为依据来确定上下水平。

上水平：高于最佳施肥量，比零水平高1/3~1/2左右。

下水平：低于零水平，可采用较少的施肥量或不施肥。

本例氮、磷、钾肥上下水平列于表2.2.9。 （P.38）

2、计算零水平：

3、计算变化间距

把上水平和零水平之差以参数 除之称为因素 的变化间距，以 表示。定义式为：

式中： 值是为了使试验计划获得正交性的一个待定参数。其 值可从表2.2.5。（P.34）查出。

本例：P=3， =1，则 =1.215，则 计算为：

4、对每个因素各水平取值进行编码变换

所谓编码就是对因素水平的取值作如下的线性变换：

这样，就建立了各因素 与 取值的一一对应关系，得到如表2.2.8的因素水平编码表（P.36）：

本例每个因素为5个水平，即+ ，+1，0，-1，- ，氮肥各水平编码值相应施肥量计算为：

N：

P2O5：

K2O：

将算出的氮、磷、钾各水平编码值相应的施肥量列于表2.2.10。 （P.39）

5、拟定试验处理方案

根据本例（三元二次回归正交组合设计）的要求，选用表2.2.7（P.35），将自变量各编码值相应肥料施用量填入表2.2.7的X1、X2、X3编码值中，即设计成试验处理组合方案列于表2.2.11。 （P.39）

（二）试验结果的统计分析

试验结果列于表2.2.12。 （P.39-40）

1、建立三元二次多项式回归方程

如果研究P个因素，采用二次回归正交组合设计具有N个处理，其试验结果以 表示，则二次回归的数学模型为：

为了消除平方项与常数项间的相关性，对平方项进行中心化变换，则数学模型变为：

用样本估计时：

当P=3时，三元二次回归方程为：

要建立二次回归方程，必须计算出回归统计数 。由于二次回归的正交组合设计的结构矩阵具有正交性，因而它的信息矩阵A为：

于是二次回归方程的回归统计数 ，则

答:星号臂长度与因素数m有关，零水平试验次数m0及二水平试验数mc有关 γ的确定 公式计算 回归正交试验设计 回归正交试验设计 Orthogonal Regression Design 正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案 回归正交设计（orthogonal regression design） ： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素

正交实验设计

当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。

正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。

1．正交表

正交表是一整套规则的设计表格，用 。L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(34)， (表11)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×24) (表12)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，… Sj 组成，这些数码均各出现N/S 次，例如表11中，第二列的数码个数为3，S=3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现 次。

正交表具有以下两项性质：

(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。

(2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对子共有4种：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每种对数出现次数相等。在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等。

以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，即“均匀分散性，整齐可比”。通俗的说，每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。

2. 交互作用表 每一张正交表后都附有相应的交互作用表，它是专门用来安排交互作用试验。表14就是L8(27)表的交互作用表。

安排交互作用的试验时，是将两个因素的交互作用当作一个新的因素，占用一列，为交互作用列，从表14中可查出L8(27)正交表中的任何两列的交互作用列。表中带( )的为主因素的列号，它与另一主因素的交互列为第一个列号从左向右，第二个列号顺次由下向上，二者相交的号为二者的交互作用列。例如将A因素排为第(1)列，B因素排为第(2)列，两数字相交为3，则第3列为A×B交互作用列。又如可以看到第4列与第6列的交互列是第2列，等等。

3．正交实验的表头设计 表头设计是正交设计的关键，它承担着将各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任务，因此一个表头设计就是一个设计方案。

表头设计的主要步骤如下：

(1)确定列数 根据试验目的，选择处理因素与不可忽略的交互作用，明确其共有多少个数，如果对研究中的某些问题尚不太了解，列可多一些，但一般不宜过多。当每个试验号无重复，只有1个试验数据时，可设2个或多个空白列，作为计算误差项之用。

(2)确定各因素的水平数 根据研究目的，一般二水平(有、无)可作因素筛选用；也可适用于试验次数少、分批进行的研究。三水平可观察变化趋势，选择最佳搭配；多水平能以一次满足试验要求。

(3)选定正交表 根据确定的列数©与水平数(t)选择相应的正交表。例如观察5个因素8个一级交互作用，留两个空白列，且每个因素取2水平，则适宜选L16(215)表。由于同水平的正交表有多个，如L8(27)、L12(211)、L16(215)，一般只要表中列数比考虑需要观察的个数稍多一点即可，这样省工省时。

(4)表头安排 应优先考虑交互作用不可忽略的处理因素，按照不可混杂的原则，将它们及交互作用首先在表头排妥，而后再将剩余各因素任意安排在各列上。例如某项目考察4个因素A、B、C、D及A×B交互作用，各因素均为2水平，现选取L8(27)表，由于AB两因素需要观察其交互作用，故将二者优先安排在第1、2列，根据交互作用表查得A×B应排在第3列，于是C排在第4列，由于A×C交互在第5列，B×C交互作用在第6列，虽然未考查A×C与B×C，为避免混杂之嫌，D就排在第7列。

(5)组织实施方案 根据选定正交表中各因素占有列的水平数列，构成实施方案表，按实验号依次进行，共作n次实验，每次实验按表中横行的各水平组合进行。例如L9(34)表，若安排四个因素，第一次实验A、B、C、D四因素均取1水平，第二次实验A因素1水平，B、C、D取2水平，……第九次实验A、B因素取3水平，C因素取2水平，D因素取1水平。实验结果数据记录在该行的末尾。因此整个设计过程我们可用一句话归纳为：“因素顺序上列、水平对号入座，实验横着作”。

4．二水平有交互作用的正交实验设计与方差分析

例8 某研究室研究影响某试剂回收率的三个因素，包括温度、反应时间、原料配比，每个因素都为二水平，各因素及其水平见表16。选用L8(27)正交表进行实验，实验结果见表17。

首先计算Ij 与IIj ，Ij为第j列第1水平各试验结果取值之和，IIj为第j列第2水平各试验结果取值之和。然后进行方差分析。过程为：

求：总离差平方和

各列离差平方和 SSj=

本例各列离均差平方和见表10最底部一行。即各空列SSj之和。即误差平方和

自由度v为各列水平数减1，交互作用项的自由度为相交因素自由度的乘积。

分析结果见表18。

从表18看出，在α＝0.05水准上，只有C因素与A×B交互作用有统计学意义，其余各因素均无统计学意义，A因素影响最小，考虑到交互作用A×B的影响较大，且它们的二水平为优。在C2的情况下， 有B1A2和B1，A1两种组合状况下的回收率最高。考虑到B因素影响较A因素影响大些，而B中选B1为好，故选A2B1。这样最后决定最佳配方为A2B1C2，即80℃，反应时间2.5h，原料配比为1.2:1。

如果使用计算机进行统计分析，在数据是只需要输入试验因素和实验结果的内容，交互作用界的内容不用输入，然后按照表头定义要分析的模型进行方差分析。

【归正】的意思是什么？【归正】是什么意思？

【归正】的意思是：归正guī zhèng 1.  回到正道。  ●《后汉书•儒林传论》：「故人识君臣父子之纲，家知违邪归正之路。」  ●《晋书•孔坦传》：「诚反族归正之秋，图义建功之日也。」  ●《水浒传》第七九回：「宋江道：‘你们若如此疑心时，如何能够归正？’」  ●沪剧《罗汉钱》第一幕第一场：「任凭她行为怎样坏，有了丈夫管教就归正。」 2.  宋代称陷于外邦者返回本朝为归正。  ●宋赵升《朝野类要•入仕》：「归正，谓元系本朝州军人，因陷蕃，后来归本朝。」  ●宋岳珂《桯史•沙世坚》：「干道间，有归正官曰沙世坚。」★「归正」在《汉语大词典》第6824页 第5卷 369参见：归正

归正的拼音guī zhèng

归正是什么意思

归正

guī zhèng 1. 回到正道。●《后汉书•儒林传论》：「故人识君臣父子之纲，家知违邪归正之路。」●《晋书•孔坦传》：「诚反族归正之秋，图义建功之日也。」●《水浒传》第七九回：「宋江道：‘你们若如此疑心时，如何能够归正？’」●沪剧《罗汉钱》第一幕第一场：「任凭她行为怎样坏，有了丈夫管教就归正。」 2. 宋代称陷于外邦者返回本朝为归正。●宋赵升《朝野类要•入仕》：「归正，谓元系本朝州军人，因陷蕃，后来归本朝。」●宋岳珂《桯史•沙世坚》：「干道间，有归正官曰沙世坚。」

★「归正」在《汉语大词典》第6824页 第5卷 369

参见：归正

归正的近义词反正横竖

归正的反义词入邪

用归正造句

1.〖示例〗我因归正释门，秉诚僧教，这一向登山涉水，把我那幼时的朋友也都疏失，未及拜访，少识尊颜。 ★明·吴承恩《西游记》第五十三回2.不倒翁是一种底重头轻的玩具﹐以你把它推倒还能自动归正。3.从此故乡日离日远，我们几个人，看这光景，不知还有归正首丘的日子么？★《苦社会》第25回4.大家帮助你；希望你尽早改邪归正；你可不能辜负大家的心意呀！5.法兰西归正会6.公理基督会、福音会、和新教教会归正会的合并。7.归正会联合会8.刽子手却对那做母亲和乳娘的妇人说：‘改邪归正9.经过组织的耐心教育与帮助，他终于浪子回头，改邪归正了。10.经过组织的耐心教育与帮助；他终于浪子回头；改邪归正了。11.苦海无边，回头是岸，你必须改邪归正，才能受到宽大处理。12.苦海无边；回头是岸；你必须改邪归正；才能受到宽大处理。13.鲁迅《南腔北调集·答杨邨人先生 *** 的 *** 》：“便称’弃邪归正’，骂’土匪’，杀同人，也激烈得很。”14.尼德兰归正会15.世界归正会联谊会(归正会联谊会)16.速沾雨露，以就去邪归正之心；毋犯雷霆，当效鼎新革故之意。（明 施耐庵《水浒全传》第八十回）17.速沾雨露，以就去邪归正之心；毋犯雷霆，当效鼎新革故之意。（明·施耐庵《水浒全传》第八十回）18.他先说了一大套客气话之后；才言归正传；说起正题来。19.提摩太后书3:16-圣经都是神所默示的、教训、责、人归正、导人学义、是有益的。20.锡安必因公平得蒙救赎，其中归正的人，必因公义得蒙救赎。21.闲言少说，言归正传。22.现在我们言归正传，集中讨论这件事，发言要围绕中心。23.现在我们言归正传；开始学习新课。24.言归正题，科学和科技随着经济的高度发展，几乎已经公开分了家。25.以清洁米加工的副产品高蛋白米粉和碎米为原料,采用回归正交设计法研制发酵米汁饮料。26.这才叫改邪归正，惩创善心。（明 吴承恩《西游记》第十四回）27.这个镇上有几个游手好闲的二溜子；平时干些偷鸡摸狗的勾当。经过公安干警的耐心劝解；最终改邪归正。28.秭归正面有一大片铁青色礁石，森然耸立江面，经过很长一段急流绕过泄滩。>