二次根式的混合运算数学教案

二次根式(常见的有分式型,复合二次根式型,无限循环型或混合型)的化简求值,是中考及各级各类数学竞赛中的常见题目.下面举例谈谈八种常见方法约分法、裂项法、取倒法、配方法、公式法、平方法、方程法、换元法,供读者参考.

一、约分法:对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的.

化简

二、裂项法:对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.

例2

解:因为

三、取倒法:如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再用第二种方法解决.

例3

四、配方法：在复合二次根式中，如果存在x＞0,y＞0,使得

例4 化简

解：原式=

例5 化简

（A） (B)

（C）5 （D）1

五、公式法：对于

这可以利用算术平方根的定义进行证明。

化简

解：原式=

所以a=7,k=2,

六、平方法：对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方。

解:设原式=x,则

所以原式=

七、方程法:对于一些带……号的无限循环式的化简,通常可设原式值为x,设法建立一个关于x的方程求解.

例8 化简求值

解:设原式=x,则x=两边平方得

即(x-3)(x+2)=0,取正数x=3.

解:设原式=x,

八、换元法：当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。

（第十届初二“希望杯”）已知a、b、c都为正数，且

则x与y的大小关系为（ ）

（A）x＞y （B）x＜y

（C）x=y （D）随a、b、c的取值变化而定

例11 （十二届初二“希望杯”）化简

初中数学课堂教学设计应注意的几个环节

数学课堂教学设计直接与教师的教学质量有关，同时一节课能否激发学生的学习兴趣，关 键看你的课堂设计是否具有科学性，现根据我的教学实践来看，应着重抓住以下几个环节。

一、注意处理好课堂教学内容 在课堂教学过程中，教师的主要任务是处理好教材，学生要使学生掌握本节课的教学内 容，灵活运用所学知识解决实际问题，把数学运用于实践生活中去，教学内容主要体现在教材 中，所以教师在教学时处理好教材是关键，如果处理得好，可以达到事半功倍的效果。 首先讲练结合要适度。要做到这一点，教师要深入吃透教材，设计的问题不要太深太难， 学生不易回答，容易挫伤学生的学习积极性，所以教师在课堂上要做到，由浅入深，层层深 入，准确把握知识目的能力目标。讲课时要做到把数学中的概念，原理公理，描述准确，不能 含糊，举例要真实可靠，重点要突出，难点要突破。课堂教学内容要适度安排的内容，不能过 多或过少，切忌贪多求全，偏深偏难，其次，要注意知识间的内在联系，学生学到的知识不是 零碎的而应是形成结构的，要使学生的知识能迁移。教师在处理好教材时，其中也包括把握好 知识点的结点和它们之间的联系，最后教学节奏要和谐，作为教师要想使自己教的课具有特 色，具有魅力，必须会调节教学节奏和师生情感，为课堂教学创造一种和谐的节奏和气氛，温 馨和谐的教学气氛会促成良好的教学效果。

二、注意合理分配好教学时间 为了保证圆满完成教学任务，一节课各个环节所用时间分配必须合理，分配时间，要提出 主攻方向。哪些是重点、非重点，难点、非难点，哪些地方该练习，哪些环节该占用多少时 间，教师要做到心中有数，有的放矢，明确教学任务的重点和主次，才能合理分配教学时间， 其次要明确教与学的关系，恰当分配，讲练时间要合理，应少讲多练，突出以学生为主体，而 教师起主导作用，合理分配教学时间，还要考虑符合教学实际，课堂教学时间结构要根据教学 内容的要求，教学环境的变化，学生的学习情况作一定的调整。

三、灵活运用教学方法 为了进一步实现教学目的，突出重难点，必须选取合适的教学方法。只有教学方法选好 了，教学效果才能达到事半功倍，教学过程是一个复杂的过程，应采用多种多样的教学方法、 教学模式与之相适应，然而如何选择教学方法呢？首先要根据教学内容的情况选择合适的教学 方法，如课的难易程度。其次要根据学生的学习成绩和个性心理特点来选择教学方法，如学生 的基础知识，如何学生分析问题和解决问题的能力怎样，学生之间的学习水平差异大小等情况。考虑学生思维活动规律，要根据学生课堂思维变化规律来选择教学方法，最后要根据教学 情境和教师教风，选择教学方法。

影响课堂教学的因素和条件是不一样的，所以选择教学方法 也要从教学条件和环境出发，有的课可以用一种方法，有的课可以综合运用几种方法，总之， 无论采用哪一种方法，都要能调动学生的学习激情和积极性，同时学生的思维得到持续地健康 发展。

具体的范文模板

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第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”在课堂教学中，如何激励、唤醒、鼓舞学生，使学生乐于学习呢？情境教学是激发学生学习兴趣的最好手段。教学实践证明，精心创设各种教学情境，将学生置于乐观的情感中，能够激发学生的学习动机和好奇心，调动学生求知欲望，发展创造思维，培养发现精神。本文谈一谈在数学课堂教学中进行情境创设的一些做法：一、用实验创设情境

实验是学生学习的一个重要方式之一。恰当的实验可以使学生把当前学习内容所反映的事物尽量和自己已经知道的事物相联系，并以这种联系加以认真思考，从而建构起当前所学知识的意义。但实验的条件在课堂上有的能得到满足,有的并不能都得到满足，如果不能得到满足,则创设模拟实验情境可代其功能。学生一方面按照教师的要求及学习目标模仿练习，以巩固新知识，另一方面凭借想象，再现表象，展开联想，亲身体会实验的乐趣，得到成功的体验，从而强化对问题的求解能力。创设模拟实验情境首先设计与主题相关的，尽可能接近真实的实验条件和实验环境。然后利用各种信息资源实现，

教师指导评价。

例如,在人教版九年级数学三角函数的应用中,为使学生巩固仰角、俯角的概念，能利用三角函数解决实际问题，我创设了这样一个实验：用量角器、卷尺、直尺等测量国旗杆的高度。先让学生讨论、设计实验方法，然后再进行实验。（过程略）这样不但充分调动了学生的积极性，锻炼学生的动手能力和实践能力。而且使学生牢固地掌握了仰角的概念和三角函数的应用。也让他们深刻体会到数学来源于生活，应用于生活。二、用实际问题创设问题情境

创设问题情境，就是在教学内容和学生求知心理之间设障立疑，让学生处于“愤”、“悱”的状态，将其引入一种与问题有关的情境。教师创设情境的重要原则是激情引趣，即通过情境激发学生的情感，引起学生对知识、对科学、对人生的兴趣。而问题情境是最常见和应用最广泛的一种情境，是启迪思维激发兴趣的重要途径。问题情境的创设，激发了学生的探求欲望。教师则要抓住时机，依据问题情境所提供的各种线索，引导学生多角度、多方位地对情境内容进行分析、比较、综合，学生不断地完成“同化”和“顺应”，建构新的认知结构。用实际问题创设问题情境，能让学生有一种身临其境的感觉。把数学与学生原有的生活经验密切联系起来，使他们感到“数学就在身边”、“生活中到处有数学”。培养学生用数学的眼光，数学的头脑去观察生活，观察身边的事物，学会用数学思考问题。

这问题一出，许多学生觉得这与自己密切相关，于是都会主动地思考，然后解决问题。可见，一个好的情境，能使学生在不经意间学到有用的数学，也在最大限度上激发了学生的学习、探究兴趣。三、用故事创设情境

一般来说学生比较爱听故事，将数学知识溶入趣味性的故事之中，最能引起学生的注意。采用这种方式，学生的情感最投入，积极性也容易被调动起来。创设故事情境就是要调动学生视听觉等尽可能多的感官理解和建构知识。实验心理学告诉我们获取信息的途径来自视觉、听觉等多种感官，并且多感官的刺激也有利于知识的保持和迁移。教师创设故事情境是根据教学内容、教学目标、学生原有认知水平和学生无意识的心理特征，采用适当媒体创设能够引起学生积极情绪反应的形象整体。

例如，我在勾股定理一课的引入时，就采用了用动画FLASH来播放，古希腊腊著名数学家毕达哥拉斯在朋友家吃饭赴宴时，通过观察地砖，发现了直角三角形三边之间的数量关系……通过这一故事，一下子把学生的情绪调动起来。四、用游戏、活动等创设情境

心理学家弗洛伊德说：“游戏是由愉快促动的，它是满足的源泉。”游戏是儿童的天堂。在课堂教学中，教师根据学生心理特点和教材内容，设计各种游戏、创设教学情境，以满足学生爱动好玩的心理，产生一种愉快的学习氛围。这种氛围不但能增长学生的知识，还能发展学生的语言表达能力，提高他们的观察、记忆、注意和独立思考能力，不断挖掘学生的学习潜力。

例如，我在上“二次根式的综合应用”这节课时，就设计了这样一个游戏：让学生猜我钱包中钱数，如果猜对了，就把钱奖励给他。

老师说：你们现在学习了二次根式，若X代表

的整数部分，Y代表它的小数部分，我的钱包里的钱数是（　+X）Y元，谁猜出来了，钱就归谁！猜对了的学生开心得不得了，在轻松愉快的游戏中，加深了对这个知识的理解，在学中玩，玩中学，学得有劲，玩得开心，增强了学习数学的兴趣。

教学情境是一种特殊的教学环境，是教师为了发展学生的心理机能，通过调动“情商”来增强教学效果，而有目的创设的教学环境。建构主义学习理论认为：学习是学生主动的建构活动，学习应与一定的情境相联系。在实际情境下进行学习，可以使学生利用原有的知识和经验同化当前要学习的新知识。这样获取的知识，不但便于保存，而且容易迁移到新的问题情境中去。创设教学情境，不仅可以使学生容易掌握数学知识和技能，而且可以“以境生情”，可以使学生更好地体验数学内容中的情感，使原来枯燥、抽象的数学知识变得生动形象、富有情趣。可以说，良好的教学情境的创设，能激发学生的学习兴趣，并为学生提供良好的学习环境。

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九年级上册

第二十一章 二次根式

二次根式

二次根式乘除

二次根式的加减

第二十二章 一元二次方程

一元二次方程

一元二次方程的解法

一元二次方程应用题

第二十三章 旋转

图形的旋转

中心对称

旋转与中心对称

第二十四章 圆

圆及其性质

与圆有关的位置关系

正多边形和圆

弧长和扇形面积

第二十五章 概率初步

概率

用列举法求概率

利用频率估计概率

九年级下册

第二十六章 二次函数

二次函数

二次函数与一元二次方程

实际问题与二次函数

第二十七章 相似

图形的相似

相似三角形

位似

第二十八章 锐角三角形函数

锐角三角形函数

解直角三角形

第二十九章 投影与视图

投影

三视图

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团队：【学者们的殿堂】

Ⅰ　总体设计

Ⅱ　教材分析

21.1　二次根式

21.2　二次根式的乘除

21.3　二次根式的加减

数学活动

小结

复习题21

Ⅲ　习题解答

Ⅳ　教学设计参考案例

21.1　二次根式（第1课时）

21.3　二次根式的加减（第1课时）

Ⅴ　拓展资源

Ⅵ　评价建议与测试题

第二十二章　一元二次方程

Ⅰ　总体设计

Ⅱ　教材分析

22.1　一元二次方程

22.2　降次——解一元二次方程

22.3　实际问题与一元二次方程

数学活动

小结

复习题22

Ⅲ　习题解答

Ⅳ　教学设计参考案例

22.2　降次——解一元一次方程（第2课时）

22.3　实际问题与一元一次方程（第2课时）

Ⅴ　拓展资源

Ⅵ　评价建议评剧测试题

第二十三章　旋转

Ⅰ　总体设计

Ⅱ　教材分析

23.1　图形的旋转

23.2　中心对称

23.3　课题学习　图案设计

数学活动

小结

复习题23

Ⅲ　习题解答

Ⅳ　教学设计参考案例

23.1　图形的旋转（第1课时）

23.3　课题学习　图案设计（第1课时）

Ⅴ　拓展资源

Ⅵ　评价建议与测试题

第二十四章　圆

Ⅰ　总体设计

Ⅱ　教材分析

24.1　圆

24.2　与圆有关的位置关系

24.3　正多边形和圆

24.4　弧长和扇形面积

数学活动

小结

Ⅲ　习题解答

Ⅳ　教学设计参考案例

24.1.4　圆周角

24.2.3　圆和圆的位置关系

24.3　正多边形和圆（第1课时）

Ⅴ　拓展资源

Ⅵ　评价建议与测试题

第二十五章　概率初步

Ⅰ　总体设计

Ⅱ　教材分析

25.1　概率

25.2　用列举法求概率

25.3　利用频率估计概率

25.4　课题学习　键盘上字母的排列规律

数学活动

Ⅲ　习题解答

Ⅳ　教学设计参考案例

25.1.1　随机事件（第1课时）

25.2　用列举法求概率（第2课时）

Ⅴ　拓展资源

Ⅵ　评价建议与测试题