IIR数字滤波器的设计方法中，双线性变换法和冲激响应不变法的优缺点！

［例2-2］已知信号s（n）的功率谱为

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测量该信号时混入了加性噪声v（n），即测量数据为x（n）=s（n）+v（n），式中v（n）是白噪声（均值等于零、方差等于1），但v（n）与s（n）不相关。设计一非因果IIR最佳滤波器，对x（n）进行处理，以得到对s（n）的线性最佳估计。

解：由于噪声为白噪声，故Pvv（z）=1，并且噪声和信号不相关，所以有

rxx（m）=r（s+v）（s+v）（m）=rss（m）+rvv（m）+rsv（m）+rvs（m）=rss（m）+rvv（m）

rsx（m）=rs（s+v）（m）=rss（m）+rsv（m）=rss（m）

对上述二式两边取Z变换，分别得

Pxx（z）=Pss（z）+Pvv（z），Psx（z）=Pss（z）

将已知参数代入上式得

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可以用两种方法来求，第一种方法由式（2-20）直接得：

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第二种方法可以用白化输入信号来求，根据式（2-33）应求 、B（z）、B（z-1）以及Psx（z）。先对Pxx（z）进行谱分解，即 ，设

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令

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得联立方程

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解之得f=1/3或3，取f=1/3，则有 ，故Pxx（z）分解为

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即

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由此得出

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最小均方估计误差的讨论：如果未采用设计的因果IIR最佳滤波器对处理时，均方估计误差为

E［e2（n）］=E｛［x（n）-s（n）］2｝=E［v2（n）］=1

如果采用设计的非因果IIR最佳滤波器对处理时，估计均方误差为最小均方估计误差，为

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在单位圆内只有一个极点z=1/3，所以

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在这里，需要说明的一点是：在实际计算时，第二种方法不用，此处只是为了让大家练习白化求解的方法。

［例2-3］在［例2-2］中设计一因果的IIR最佳滤波器。

解：与［例2-2］相同，噪声和信号不相关，具体步骤如下：

（1）先对功率谱密度函数进行分解，由［例2-2］知

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（2）对Pss（z）/B（z-1）进行因果和反因果分解，因Psx（z）=Pss（z），所以有

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将上式写成部分分式

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显然，因果部分为

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（3）因果IIR最佳滤波器的系统函数为

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（4）由于是因果的，所以有｜z｜＞1/3，则该滤波器的单位冲激响应为

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（5）最小均方估计误差的讨论

如果未采用设计的因果IIR最佳滤波器对处理时，均方估计误差为

E［e2（n）］=E｛［x（n）-s（n）］2｝=E［v2（n）］=1

如果采用设计的因果IIR最佳滤波器对处理时，估计均方误差为

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在单位圆内有两个极点z=1/3，z=0.6=3/5，所以

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显然，采用设计的因果IIR最佳滤波器对处理时，均方估计误差要小，大约减小为原来的2.25（1/（4/9））倍，但它比非因果 IIR 最佳滤波器的均方估计误差要大一些（见［例2-2］）。

（1）编写用双性变换法设计巴特沃兹低通IIR数字滤波器的程序，要求通带 内频率低于0.2pirad时，容许幅度误差在1dB之内，频率在0.3pirad到pirad 之间的阻带衰减大于10dB。

（2）用双线性变换法设计Butterworth低通IIR数字滤波器，要求使用buttord， butter和bilinear函数。滤波器技术指标：取样频率1Hz，通带内临界频率0.2Hz，通带内衰减小于1dB；阻带临界频率0.3Hz，阻带内衰减大于25dB。

（3）以pi/64为取样间隔，在屏幕上打印出数字滤波器的频率区间[0,pi] 上的幅 频响应特性曲线(|H(ejw)|或20lg|H(ejw)|)。

（4）在屏幕上打印出H（z）的分子，分母多项式系数。

扩展资料

通带截止频率为0.2prad，阻带截止频率为0.3prad，图中横坐标w是数字频率，对应的模拟频率为0-fs/2。通带截止频率为0.4prad，阻带截止频率为0.6prad

看低通滤波器的幅频特性，并掌握了用双线性变换法设计巴特沃斯低通IIR数字滤波器的方法。双线性变换法首先根据模拟滤波器的指标设计出相应的模拟滤波器，然后再讲设计好的模拟滤波器转换成满足给定指标的数字滤波器。

IIR（无限脉冲响应）滤波器保留传统模拟滤波器的优良幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器一般是某种确定的非线性相位，为了得到线性相位，还要有相位校正网络，复杂度高；FIR（有限脉冲响应）滤波器在保持幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到严格的线性相位特性。稳定和线性相位是FIR滤波器的优点。

选频滤波器：低通、带通...；其他：微分器、希尔伯特变换器、频谱校正滤波器。

四个指标 ：

通带边界频率: ‘ ； 阻带截止频率: ；通带最大衰减: ； 阻带最小衰减:

另外：3dB通带截止频率：

通常通带最大衰减越小，通带波纹越小，误差越小；阻带最小衰减越大，阻带波纹越小，误差越小。

频域范围、单位 ：

模拟：

数字:

IIR数字滤波器

系统函数：

间接法 （先设计模拟滤波器，再转换）

巴特沃斯低通滤波器：滤波器阶数 越大，通带越平坦，过度带越窄，过渡带与阻带幅度下降越快。实际上是根据四个指标求取 和 （3dB截止频率）的过程。无论通带还是阻带都是单调递减函数。

切比雪夫1型：振幅特性在通带内是等波纹的；切比雪夫2型：振幅特性在阻带内是等波纹的；这样设计可以使得滤波器阶数大大降低。

椭圆滤波器：在通带和阻带内都具有等波纹特性。阶数最低，性价比最高。

贝塞尔滤波器：在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其让滤波器宽的多。

直接法

将系统函数 从 平面转换到 平面。

1、脉冲响应不变法

利用时域逼近方法，对 进行等间隔采样，将 作为数字滤波器的单位脉冲响应，那么数字滤波器的系统函数 就是 的 变换。

映射关系：

所以

为了不发生频谱混叠:往往避免 太大增益

总结 ：脉冲响应不变法优点是频率变换关系是线性的，即 ，由于是模仿模拟滤波器的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。最大缺点是可能会产生不同程度的频谱混叠失真，其只适合于 低通、带通滤波器 。

2、双线性变换法

为了克服脉冲响应不变法缺点，将整个模拟频率轴压缩到 之间。

3、切比雪夫等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器

FIR滤波器的阶数一般是IIR阶数的5至10倍，但是IIR滤波器要想有线性相位特性，必须进行相位校正。

fir滤波器的最主要的特点是没有反馈回路，故不存在不稳定的问题同时，可以在幅度特性是随意设置的同时，保证精确的线性相位。稳定和线性相位特性是fir滤波器的突出优点。另外，它还有以下特点：设计方式是线性的硬件容易实现；滤波器过渡过程具有有限区间；相对iir滤波器而言，阶次较高，其延迟也要比同样性能iir滤波器大得多。iir滤波器的首要优点是可在相同阶数时取得更好的滤波效果。但是iir滤波器设计方法的一个缺点是无法控制滤波器的相位特性。由于极点会杂散到稳定区域之外，自适应iir滤波器设计中碰到的一个大问题是滤波器可能不稳定。因此，一般采用fir滤波器作为自适应滤波器的结构。

wp=0.2*piws=0.3*pi

Fs=20000T=1/Fs%采样频率可以自己定

OmegaP=(2/T)*tan(wp/2)

OmegaS=(2/T)*tan(ws/2)

rp=1rs=15

ripple=10^(-rp/20)attn=10^(-rs/20)

[n,wn]=buttord(OmegaP,OmegaS,rp,rs,'s')

[z,p,k]=Buttap(n)

[b,a]=zp2tf(z,p,k)

[bt,at]=lp2lp(b,a,wn)

[b,a]=bilinear(bt,at,Fs)

[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a)

%

%下面绘出各条曲线

subplot(2,2,1)plot(w/pi,mag)title('幅频特性')

xlabel('w(/pi)')ylabel('|H(jw)|')

axis([0,1,0,1.1])

set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 0.2 0.3 1])

set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0 attn ripple 1])grid

subplot(2,2,2)plot(w/pi,db)title('幅频特性(db)')

xlabel('w(/pi)')ylabel('dB')

axis([0,1,-30,5])

set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 0.2 0.3 1])

set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-60 -as -rp 0])grid

subplot(2,2,3)plot(w/pi,pha/pi)title('相频特性')

xlabel('w(/pi)')ylabel('pha(/pi)')

axis([0,1,-1,1])

set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 0.2 0.3 1])grid

subplot(2,2,4)plot(w/pi,grd)title('群延时')

xlabel('w(/pi)')ylabel('Sample')

axis([0,1,0,15])

set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 0.2 0.3 1])grid