深圳若依陶瓷有限公司怎么样

这个是由于物业的失误导致个人财产损失，应该有物业承担责任，首先跟物业进行沟通，如果物业不认账，就去街道办事处进行放映，在不行拿去合理的证据讲物业告上法庭，另外，小编给大家普及一下如何判断卫生间漏水。

1、卫生间漏水维修前，先要判断出卫生间漏水的原因，两种漏水原因的判断方法如下：

Ⅰ：判断地面渗水的方法：只要地面用水，楼下就有渗漏水现象，地面不使用水时，楼下不再渗漏水。

Ⅱ：判断水管渗漏水的方法：一般水管渗漏水量大，并且有持续性往地漏，手盆，坐便倒水即可判断下水管没有问题，如果卫生间连续几天都没使用水，但是还有渗漏水现象，并且渗漏水没有减轻，即为上水管问题。

2、卫生间漏水维修方法

1)如果卫生间是防水层渗漏水，而不是上下水管漏水的情况。都是不需要刨瓷砖就可以维修好的了。

维修方法很简单就是使用新型的卫生间免砸砖防水涂料青龙3号在卫生间表面再做遍防水，让水不进入地下，直接从水道流走。

2)如果是上下水管的问题。而且水管是在地下，就需要考虑刨瓷砖，但并非必须重新装修卫生间。比如如果是进水管漏水，可改明管，不用漏水的水管。如果是下水管漏水，也是要找到漏水的具体位置，根据情况来确定是部分刨砖来解决，也是没有必要全部刨。

例1：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？

分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：

操作次数 1 2 3 … 10

取出球数 1 2 3 … 10

盒中剩球数 0 2 7 … A

放回的球数 4 8 12 … B

盒中增加球数 3 6 9 … C

总球数 4 10 19 … D

在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。

说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。

例2：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？

分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；……A9与A10握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。

说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。

第二类：数字型题

例3：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着写出后面的3个数。你能说出第100个数、第2004个数、第10000个数吗？

① 2，-2，2，-2，2，-2，……

② -1，3，-5，7，-9，11，……

③ - ，，- ，，- ……

分析：

①容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。

②容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）N来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）N（2N-1）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。

③容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）N来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1）N ，故，接下来的三个数为，- ，。第100个数为，第2004个数为，第10000个数为。

说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。

例4：研究下列算式，你会发现什么规律？

1×3+1=4=22

2×4+1=9=32

3×5+1=16=42

4×6+1=25=52

请你将找出的规律用公式表示出来：▁▁▁▁▁

这个公式是否对全体整数适用？

分析：在第一个式子中去寻找“1”；在第二个式子中去寻找“2”； ……；在第N个式子中去寻找“N”。同时，在相应的式子中寻找与“1”、“2”、 ……、“N”有关的数字。若发现式子中的“1”、“2”、 ……、“N”的位置是个固定的位置，则第N个式子中的“N”就在“1”、“2”、 ……、的位置上，相应的“N+1”、“N-1”等其它的与N有关的数字就因规律式子中的具体情况而定了。此题中各式的第一个数据即可看出是N的位置，第二个数据比第一个数据大2，则第二个数据可认为是N+2，第三个数据为常量1，第四个数据即为（N+1）2的结果，而最后的结论则是明确了（N+1）2。因此，找出的规律用公式表达为：

N（N+2）+1=N2+2N+1=（N+1）2。

例5：观察下列各式：

13+23=9=（1+2）2

13+23+33=36=（1+2+3）2

13+23+33+43=（1+2+3+4）2

……

13+23+33+43+……+993+1003=？

分析：从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方。学生不难找到第N个式子为：

13+23+33+……+N3=（1+2+3+……+N）2。

因此，13+23+33+43+……+993+1003=（1+2+3+4+……+99+100）2=50502。

（用不完全归纳法来证明第N式的结论并不困难，限于篇幅，这里不给予证明了。）

第三类：几何图形型

例6：用火柴棒按图中的方式搭图：

(1) 填写下表：

图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

火柴棒根数

(2) 第N个图形需要多少根火柴？

分析：在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答。

显然，第一个图形中有3根火柴棒；第二个图形中有9根火柴棒；第三个图形中有18根火柴棒；第四个图形中有30根火柴棒；……

而3=1×3；9=3×3=（1+2）×3；18=6×3=（1+2+3）×3；30=10×3=（1+2+3+4）×3……

因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+……+N）×3根。从而表中的每一个数据就不难填写出来了。

类似此题的题目有下面一些题，供大家参考：

1、当一条线段上标上一个点时，此时图中共有3条线段，若再标上一个点时，此时图中共有6条线段，……依次类推，则第N个图中共有多少条线段？

2、从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有多少个三角形？

说明：（1）在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏。

（2） 道一些特殊数列的规律和一般表达式，才能较为轻松地完成此类问题的解答。如下表：

自然数列 1 2 3 …… N

偶数数列 2 4 6 …… 2N

奇数数列 1 3 5 …… 2N-1

自然数的平方 1 4 9 …… N2

前N个自然数的和 1

（1） 1+2

（3） 1+2+3

（6） …… 1+2+3+……+N

（）

前N个奇数的和 1

（1） 1+3

（4） 1+3+5

（9） …… 1+3+5+……+（2N-1）

（N2）

前N个偶数的和 2

（2） 2+4

（6） 2+4+6

（12） …… 2+4+6+……+2N

N（N+1）

为了大家进一步巩固这方面的知识点，以下练习题，供大家参考：

1） 观察下列各式，你会发现什么规律？

3×5=15=42-1

5×7=35=62-1

……

11×13=143=122-1

将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。

2） 观察下列各式：

A1=5×1-3=2

A2=5×2-3=7

A3=5×3-3=12

A4=5×4-3=17

……

（1） 根据以上规律，猜测计算AN=

（2） 当N=100时，A100=

你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合拉伸到多少次，就可拉出128根细面条？

4）如图，正方形的棱长都是1，按图中规律堆放，若依次由上向下称之为第一层、第二层、第三层、……、第N层，请填表：

小正方体排列层数N 1 2 3 4 5 … N

最低层小正方体的个数 1 3 6 …

数学题，可以分为两大类，一类是应用数学规律题，一类是发现数学规律题。应用数学规律题，指的是需要学生应用以前学习过的数学规律解答的题目。发现数学规律题，指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系，需要学生先从已知的事物中找出规律，才能够解答的题目。学生所做数学题，绝大多数属于第一类。

由于发现数学规律题，能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力。因此，近几年来，人们开始逐渐重视这一类数学题。尤其是最近两年，全国多数地市的中招考试，都有这类题目。研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。

一、 要善于抓主要矛盾

有些题目看上去很大、很复杂，实际上，关键性的内容并不多。对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。

还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。

二、 要抓题目里的变量

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第 个图形中需要黑色瓷砖 块（用含 的代数式表示）.（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区））

这一题的关键是求第 个图形中需要几块黑色瓷砖？

在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+（n-1）×3块黑瓷砖。

云南省2006年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则，m= （用含 n 的代数式表示）.”

三、 要善于比较

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。”

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。

如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。

譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：

① 13＝12；

② 13＋23＝32；

③ 13＋23＋33＝62；

④ 13＋23＋33＋43＝102 ；

…… ……

由此规律知，第⑤个等式是．”

这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。

四、要善于寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。

譬如，玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个。”

这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。

五、要抓住题目中隐藏的不变量

有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。

例如，2006年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 。”

在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。

六、要进行计算尝试

找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。

例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。试按此规律写出的第10个式子是。”

这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。

系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。

从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。

所以，原数列第10项是34x9。

“条条道路通罗马”。解答找规律这一类题的思路有许多条，这里只是把“常用”的解题思路做一个简单的总结。有兴趣的老师还可以从解方程组的角度、拉格郎日插值定理的角度、求函数解析式的角度进一步研究解决这一类问题的新途径。

（1）1，（2)1+5=6,(3)1+5+9=16.请问第n个为多少？请写出过程。

第一个数为1

第二个数为1＋5＝6

第三个数为1＋5＋9＝15

第四个数为1＋5＋9＋13＝28

由以上的规律中可以发现，每增加一层，所增加的数比前一个数多4，

第n个数最后增加数的求法为4×(n－1)＋1 ∴由第1个数连续加到最后一个数的总和为(1＋最后一个数)÷2n

再把前2个算式综合起来就可得到第n个数为[2＋4⨉(n－1)]÷2n 即n（2n-1）

设有一列数：1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1，1/5，……

（1）数1/5后的第一个数是什么？

（2）如果我们从左边第一个数开始一直往右数，那么1/9是这列数的第几个数？

解： 由数列：1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1，1/5，……可知 往后分子上的数字逐渐增大直到5为止， 分母上的数字逐渐减小直到1为止，所以数 后的第一个数是 = . 由题意知从左边第一个数开始一直往右数，1到1是1个数，1到 为2个数， 到 为3个数， 到 为4个数字， ⋯ 到 为8个数字， 所以 1+2+3+4+5+6+7+8=36.所以 是这列数的37个数。

3，10，29，66下一个数是多少？

解： 3=13+2 10=23+2 29=33+2 66=43+2 下一个数是：53+2=127

（1）－1，2，－4，8，－16，32，……，第10个数是__________

各数分别可写为

次数依次为0、1、2、3……

当次数为偶数时，前面有负号，

所以第10个数表示为 。

（2）1，－3，5，－7，…，第15个数是__________．

各数的绝对值分别表示为 ， ， …… ，（n表示个数）

且个数是偶数时，前面有负号，

所以第15个数的绝对值为 。

例1：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：操作次数 1 2 3 … 10取出球数 1 2 3 … 10盒中剩球数 0 2 7 … A放回的球数 4 8 12 … B盒中增加球数 3 6 9 … C总球数 4 10 19 … D在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。例2：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；……A9与A10握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。第二类：数字型题例3：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着写出后面的3个数。你能说出第100个数、第2004个数、第10000个数吗？① 2，-2，2，-2，2，-2，……② -1，3，-5，7，-9，11，……③ - ，，- ，，- ……分析：①容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。②容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）N来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）N（2N-1）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。③容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）N来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1）N ，故，接下来的三个数为，- ，。第100个数为，第2004个数为，第10000个数为。说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。例4：研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1=4=222×4+1=9=323×5+1=16=424×6+1=25=52请你将找出的规律用公式表示出来：▁▁▁▁▁这个公式是否对全体整数适用？分析：在第一个式子中去寻找“1”；在第二个式子中去寻找“2”； ……；在第N个式子中去寻找“N”。同时，在相应的式子中寻找与“1”、“2”、 ……、“N”有关的数字。若发现式子中的“1”、“2”、 ……、“N”的位置是个固定的位置，则第N个式子中的“N”就在“1”、“2”、 ……、的位置上，相应的“N+1”、“N-1”等其它的与N有关的数字就因规律式子中的具体情况而定了。此题中各式的第一个数据即可看出是N的位置，第二个数据比第一个数据大2，则第二个数据可认为是N+2，第三个数据为常量1，第四个数据即为（N+1）2的结果，而最后的结论则是明确了（N+1）2。因此，找出的规律用公式表达为：N（N+2）+1=N2+2N+1=（N+1）2。例5：观察下列各式：13+23=9=（1+2）213+23+33=36=（1+2+3）213+23+33+43=（1+2+3+4）2……13+23+33+43+……+993+1003=？分析：从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方。学生不难找到第N个式子为：13+23+33+……+N3=（1+2+3+……+N）2。因此，13+23+33+43+……+993+1003=（1+2+3+4+……+99+100）2=50502。（用不完全归纳法来证明第N式的结论并不困难，限于篇幅，这里不给予证明了。）第三类：几何图形型 例6：用火柴棒按图中的方式搭图： (1) 填写下表：图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥火柴棒根数 (2) 第N个图形需要多少根火柴？分析：在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答。显然，第一个图形中有3根火柴棒；第二个图形中有9根火柴棒；第三个图形中有18根火柴棒；第四个图形中有30根火柴棒；……而3=1×3；9=3×3=（1+2）×3；18=6×3=（1+2+3）×3；30=10×3=（1+2+3+4）×3……因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+……+N）×3根。从而表中的每一个数据就不难填写出来了。类似此题的题目有下面一些题，供大家参考：1、当一条线段上标上一个点时，此时图中共有3条线段，若再标上一个点时，此时图中共有6条线段，……依次类推，则第N个图中共有多少条线段？2、从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有多少个三角形？ 说明：（1）在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏。（2） 道一些特殊数列的规律和一般表达式，才能较为轻松地完成此类问题的解答。如下表：自然数列 1 2 3 …… N偶数数列 2 4 6 …… 2N奇数数列 1 3 5 …… 2N-1自然数的平方 1 4 9 …… N2前N个自然数的和 1（1） 1+2（3） 1+2+3（6） …… 1+2+3+……+N（）前N个奇数的和 1（1） 1+3（4） 1+3+5（9） …… 1+3+5+……+（2N-1）（N2）前N个偶数的和 2（2） 2+4（6） 2+4+6（12） …… 2+4+6+……+2NN（N+1） 为了大家进一步巩固这方面的知识点，以下练习题，供大家参考：1） 观察下列各式，你会发现什么规律？3×5=15=42-1 5×7=35=62-1……11×13=143=122-1将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。2） 观察下列各式：A1=5×1-3=2A2=5×2-3=7A3=5×3-3=12A4=5×4-3=17……（1） 根据以上规律，猜测计算AN=（2） 当N=100时，A100=你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合拉伸到多少次，就可拉出128根细面条？ 4）如图，正方形的棱长都是1，按图中规律堆放，若依次由上向下称之为第一层、第二层、第三层、……、第N层，请填表：小正方体排列层数N 1 2 3 4 5 … N最低层小正方体的个数 1 3 6 … 数学题，可以分为两大类，一类是应用数学规律题，一类是发现数学规律题。应用数学规律题，指的是需要学生应用以前学习过的数学规律解答的题目。发现数学规律题，指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系，需要学生先从已知的事物中找出规律，才能够解答的题目。学生所做数学题，绝大多数属于第一类。由于发现数学规律题，能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力。因此，近几年来，人们开始逐渐重视这一类数学题。尤其是最近两年，全国多数地市的中招考试，都有这类题目。研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。一、 要善于抓主要矛盾有些题目看上去很大、很复杂，实际上，关键性的内容并不多。对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。 二、 要抓题目里的变量找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第 个图形中需要黑色瓷砖 块（用含 的代数式表示）.（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区）） 这一题的关键是求第 个图形中需要几块黑色瓷砖？在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+（n-1）×3块黑瓷砖。云南省2006年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则，m= （用含 n 的代数式表示）.” 三、 要善于比较“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。”解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。序列号： 1，2，3， 4， 5，……。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…… ……由此规律知，第⑤个等式是．”这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。四、要善于寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。譬如，玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个。”这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。五、要抓住题目中隐藏的不变量有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。例如，2006年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 。” 在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。六、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。试按此规律写出的第10个式子是。”这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。所以，原数列第10项是34x9。“条条道路通罗马”。解答找规律这一类题的思路有许多条，这里只是把“常用”的解题思路做一个简单的总结。有兴趣的老师还可以从解方程组的角度、拉格郎日插值定理的角度、求函数解析式的角度进一步研究解决这一类问题的新途径。（1）1，（2)1+5=6,(3)1+5+9=16.请问第n个为多少？请写出过程。第一个数为1 第二个数为1＋5＝6 第三个数为1＋5＋9＝15 第四个数为1＋5＋9＋13＝28 由以上的规律中可以发现，每增加一层，所增加的数比前一个数多4，第n个数最后增加数的求法为4×(n－1)＋1 ∴由第1个数连续加到最后一个数的总和为(1＋最后一个数)÷2n 再把前2个算式综合起来就可得到第n个数为[2＋4⨉(n－1)]÷2n 即n（2n-1）设有一列数：1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1，1/5，……（1）数1/5后的第一个数是什么？（2）如果我们从左边第一个数开始一直往右数，那么1/9是这列数的第几个数？解： 由数列：1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1，1/5，……可知 往后分子上的数字逐渐增大直到5为止， 分母上的数字逐渐减小直到1为止，所以数 后的第一个数是 = . 由题意知从左边第一个数开始一直往右数，1到1是1个数，1到 为2个数， 到 为3个数， 到 为4个数字， ⋯ 到 为8个数字， 所以 1+2+3+4+5+6+7+8=36.所以 是这列数的37个数。 3，10，29，66下一个数是多少？解： 3=13+2 10=23+2 29=33+2 66=43+2 下一个数是：53+2=127 （1）－1，2，－4，8，－16，32，……，第10个数是__________各数分别可写为 次数依次为0、1、2、3……当次数为偶数时，前面有负号，所以第10个数表示为 。（2）1，－3，5，－7，…，第15个数是__________．各数的绝对值分别表示为 ， ， …… ，（n表示个数）且个数是偶数时，前面有负号，所以第15个数的绝对值为 。

希望对你有用。只供参考。可食性食物： 蔬菜类 青菜类（如青江菜）、红萝卜、番瓜(绿黄色蔬菜为佳） 种子类 葵花子、花生、核桃、松子(不要给太多) 水果类 苹果、草莓、樱桃、香蕉、葡萄(因糖分很多请不要给太多) 谷物类 鸡的饲料、鸠的饲料、小鸟用饲料、小麦、玉米、小米 植物类 三叶草、蒲公英、葛类、车前草 动物性蛋白 牛肉、鸡肉、水煮蛋的蛋白、起司、牛奶、优酪乳、小虫、宠物用小鱼干 喂食量：供给仓鼠的食物量易多不易少，因为仓鼠有储藏食物的习惯，如果食物少了它会很不安。所以，如果你每次加食物时发现食盆总是空着的话就说明食物加的太少了，同时也要注意及时清理未吃掉的食物，特别是水果等有水分的东西，防止变质。 仓鼠的交配与繁殖： 仓鼠的世界是母系社会，所以要将母鼠放入公鼠的笼内。出外相亲也是一样。 大部分的仓鼠在初见面时都会紧张。板主建议，相亲的会场（内置空间）大一点，让彼此有喘息的空间。不然就会见着，一只追一只，一只扁一只或两只猛冲互撞的情形。不过有的一拍及合，有的却要再接再厉。 确定母鼠已怀孕，建议将夫妻分笼。因为，有些母鼠脾气会变得相当暴躁＆不稳定，可能会咬伤公鼠。若依旧相处融洽，可不分笼。但，有时公鼠想再行交配，将会导致母鼠流产的可能。 怀孕期大约17～21天。初‘中期外观上的征兆并不明显，后期时才会明显的显现。当你发现了征兆，通常在过几天就会生了 在快生产前，将笼具整理干净，换上新的垫材（母鼠会收集垫材筑产房，所以可以多放些）＆食物＆水。公鼠若未分笼，也请现在分笼。 选择一个较安静的空间，将笼内光线布置的暗一点（可用布or纸类盖着，并确保空气可流通）。让母鼠安心待产。 生产后，尽量不要去打扰母鼠，补充食物＆水时应轻手轻声的。若想偷看小鼠的模样，请不要被母鼠发现，最好是能免则免。因为若惊扰到母鼠，可能会导致母鼠放弃育儿or吃掉鼠宝宝的情况发生。 禁止用手去触摸鼠宝宝，因为会留下味道在鼠宝宝身上，母鼠可能会觉得那不是它的小孩而拒绝哺乳or认为是敌人入侵而吃掉它。 仔鼠的照顾及注意事项 大约是12～14天。开眼后才可进行更换产后的垫材。此时更换垫材＆笼具的清洗，对母鼠来说比较不会感到过重的压力。可能是因为，此时鼠宝宝就算离开了母鼠也有了生存下去的能力了。所以，在这之前请勿更换垫材。 此时的母鼠大多能接受饲主去触摸鼠宝宝了。不过母鼠若不愿意，也不要勉强，可用容器将鼠宝宝乘起，进行笼具的清理。 大约是21天之后便开始断奶。（小size的仓鼠，还有点笨手笨脚的，咬人又不会痛，兄弟姊妹窝在一起睡觉的模样，不管怎么看都超级可爱的。此时，若有人想领养，而您也愿意割爱，就可以送人了。） 断奶后，就要开始进行公母分笼了，避免近亲交配。 母宝宝可以跟鼠妈住，公宝宝可以跟鼠爸住，但若鼠爸排斥鼠儿子，就要再分笼Up！！【饲养环境】 最适宜温度20-28℃，避免阳光直射或直接被大风吹到的地方，但要注意通风透气。不要离电视，音响，电脑太近，鼠鼠可听到人类听不到的声音，应避免辐射和嘈杂。 夏季：最好不开空调，因为你外出时关空调，进屋又开空调会使屋内温差过大，鼠鼠对温度很敏感，容易感冒。 冬季：不要放在室外，鼠鼠会因为太冷而冬眠。多铺木屑等垫材，为鼠鼠配置木制或草制小屋用于保暖。或多给一些餐巾纸让鼠鼠自己做窝。最简单的方法是把笼子整个放进纸箱或塑料箱内，但要注意透气。 【基本用品】 笼子 食盆 大多数笼子中都自带食盆。如果需要自己选购，一般的小容器都可选用，只要是不容易打翻，且边缘不要太高，不然鼠鼠爬不进去。常用的容器：玻璃烟缸，酱油碟子，各类小碗，微波炉盒子。目前价格：3-10元 饮水器 大多数笼子中都自带饮水器，DIY时也最好装一个，因为鼠鼠是需要喝水的。饮水器的一般设计前端有不锈钢珠，购买时注意测试是否漏水。千万不要直接拿个碗盛水，因为鼠鼠喝水时会弄湿毛，或进去游泳，容易着凉生病。实在没有就多给鼠鼠喂些蔬菜和水果。 厕所 一般的塑料盒子装上猫砂就是比较简易的厕所了。每天取出结块的猫砂或全部换掉，这就按照个人的卫生习惯了。爱干净的人养出的鼠鼠也比较爱干净。 沐浴房 有些鼠鼠会在厕所里用猫砂沐浴，虽然不卫生，但这是鼠鼠的喜好，此时就不再需要沐浴房了，但有些鼠鼠很爱干净，主人就应该给它买个沐浴房，放上沐浴砂让鼠鼠尽情地翻滚、打洞玩。沐浴砂要选用消过毒的，也可自己将细砂洗净，放微波炉里消毒烘干，混合上爽身粉做成浴砂使用。最好别直接使用爽身粉，因为刺激性太强，还容易弄伤鼠鼠的眼睛。 跑轮 大多数笼子中都自带跑轮，因为野生的鼠鼠一天要跑20公里，所以适量的运动对鼠鼠来说是非常重要的，没有足量的运动，鼠鼠会压力过大而出现互相打架，咬笼子等行为。所以细心的主人应该给鼠鼠一个跑轮。同时，由于现在的主人给鼠鼠的营养都非常好，往往使鼠鼠过度肥胖，容易使鼠鼠也得上心血管疾病，所以即便是鼠鼠，也应该拥有正常健康的身材。购买时要注意，应该选择无缝隙的跑轮，鼠鼠才不容易受伤。目前价格：10-80元 木屑 做为鼠笼的垫材，很多材料都可选用，但大多数人都会选用木屑，因为它比较干净又容易得到。使用纸质垫材时要注意，不要选用印刷过的纸张，油墨是有毒的，鼠鼠会中毒。 磨牙石/磨牙棒 鼠鼠的牙齿会不断生长，所以需要用磨牙棒来磨掉过长的牙齿。 小屋 小屋有陶瓷的，木制的，草制的，塑料的，鼠鼠都很喜欢的，因为鼠鼠是爱打洞居住的动物，有条件的应该给鼠鼠配个小屋。目前价格：10-45元 抱仓鼠时要注意：睡着的仓鼠不喜欢受到骚扰，所以当你要抱起他之前先肯定它是清醒的，应该先把它的窝拨开以便它可以看到你，然后再轻轻地将它抱起，如果它不愿意，千万不要勉强。把仓鼠带回家时，由于它离开了一直生活的环境，离开了母亲和兄弟姐妹，会有比较长时间显得非常敏感、紧张是失落，有时会出现咬人，发呆，不肯吃东西等情况，而这个时期是你和鼠鼠建立信任的关键时期，如果处理不好以后就很难再建立良好的关系了，有可能你的鼠鼠会变成一只一直咬人的坏鼠鼠！

例1：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？

分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：

操作次数 1 2 3 … 10

取出球数 1 2 3 … 10

盒中剩球数 0 2 7 … A

放回的球数 4 8 12 … B

盒中增加球数 3 6 9 … C

总球数 4 10 19 … D

在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。

说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。

例2：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？

分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；……A9与A10握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。

说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。

第二类：数字型题

例3：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着写出后面的3个数。你能说出第100个数、第2004个数、第10000个数吗？

① 2，-2，2，-2，2，-2，……

② -1，3，-5，7，-9，11，……

③ - ，，- ，，- ……

分析：

①容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。

②容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）N来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）N（2N-1）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。

③容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）N来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1）N ，故，接下来的三个数为，- ，。第100个数为，第2004个数为，第10000个数为。

说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。

例4：研究下列算式，你会发现什么规律？

1×3+1=4=22

2×4+1=9=32

3×5+1=16=42

4×6+1=25=52

请你将找出的规律用公式表示出来：▁▁▁▁▁

这个公式是否对全体整数适用？

分析：在第一个式子中去寻找“1”；在第二个式子中去寻找“2”； ……；在第N个式子中去寻找“N”。同时，在相应的式子中寻找与“1”、“2”、 ……、“N”有关的数字。若发现式子中的“1”、“2”、 ……、“N”的位置是个固定的位置，则第N个式子中的“N”就在“1”、“2”、 ……、的位置上，相应的“N+1”、“N-1”等其它的与N有关的数字就因规律式子中的具体情况而定了。此题中各式的第一个数据即可看出是N的位置，第二个数据比第一个数据大2，则第二个数据可认为是N+2，第三个数据为常量1，第四个数据即为（N+1）2的结果，而最后的结论则是明确了（N+1）2。因此，找出的规律用公式表达为：

N（N+2）+1=N2+2N+1=（N+1）2。

例5：观察下列各式：

13+23=9=（1+2）2

13+23+33=36=（1+2+3）2

13+23+33+43=（1+2+3+4）2

……

13+23+33+43+……+993+1003=？

分析：从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方。学生不难找到第N个式子为：

13+23+33+……+N3=（1+2+3+……+N）2。

因此，13+23+33+43+……+993+1003=（1+2+3+4+……+99+100）2=50502。

（用不完全归纳法来证明第N式的结论并不困难，限于篇幅，这里不给予证明了。）

第三类：几何图形型

例6：用火柴棒按图中的方式搭图：

(1) 填写下表：

图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

火柴棒根数

(2) 第N个图形需要多少根火柴？

分析：在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答。

显然，第一个图形中有3根火柴棒；第二个图形中有9根火柴棒；第三个图形中有18根火柴棒；第四个图形中有30根火柴棒；……

而3=1×3；9=3×3=（1+2）×3；18=6×3=（1+2+3）×3；30=10×3=（1+2+3+4）×3……

因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+……+N）×3根。从而表中的每一个数据就不难填写出来了。

类似此题的题目有下面一些题，供大家参考：

1、当一条线段上标上一个点时，此时图中共有3条线段，若再标上一个点时，此时图中共有6条线段，……依次类推，则第N个图中共有多少条线段？

2、从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有多少个三角形？

说明：（1）在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏。

（2） 道一些特殊数列的规律和一般表达式，才能较为轻松地完成此类问题的解答。如下表：

自然数列 1 2 3 …… N

偶数数列 2 4 6 …… 2N

奇数数列 1 3 5 …… 2N-1

自然数的平方 1 4 9 …… N2

前N个自然数的和 1

（1） 1+2

（3） 1+2+3

（6） …… 1+2+3+……+N

（）

前N个奇数的和 1

（1） 1+3

（4） 1+3+5

（9） …… 1+3+5+……+（2N-1）

（N2）

前N个偶数的和 2

（2） 2+4

（6） 2+4+6

（12） …… 2+4+6+……+2N

N（N+1）

为了大家进一步巩固这方面的知识点，以下练习题，供大家参考：

1） 观察下列各式，你会发现什么规律？

3×5=15=42-1

5×7=35=62-1

……

11×13=143=122-1

将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。

2） 观察下列各式：

A1=5×1-3=2

A2=5×2-3=7

A3=5×3-3=12

A4=5×4-3=17

……

（1） 根据以上规律，猜测计算AN=

（2） 当N=100时，A100=

你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合拉伸到多少次，就可拉出128根细面条？

4）如图，正方形的棱长都是1，按图中规律堆放，若依次由上向下称之为第一层、第二层、第三层、……、第N层，请填表：

小正方体排列层数N 1 2 3 4 5 … N

最低层小正方体的个数 1 3 6 …

数学题，可以分为两大类，一类是应用数学规律题，一类是发现数学规律题。应用数学规律题，指的是需要学生应用以前学习过的数学规律解答的题目。发现数学规律题，指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系，需要学生先从已知的事物中找出规律，才能够解答的题目。学生所做数学题，绝大多数属于第一类。

由于发现数学规律题，能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力。因此，近几年来，人们开始逐渐重视这一类数学题。尤其是最近两年，全国多数地市的中招考试，都有这类题目。研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。

一、 要善于抓主要矛盾

有些题目看上去很大、很复杂，实际上，关键性的内容并不多。对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。

还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。

二、 要抓题目里的变量

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第 个图形中需要黑色瓷砖 块（用含 的代数式表示）.（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区））

这一题的关键是求第 个图形中需要几块黑色瓷砖？

在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+（n-1）×3块黑瓷砖。

云南省2006年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则，m= （用含 n 的代数式表示）.”

三、 要善于比较

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。”

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。

如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。

譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：

① 13＝12；

② 13＋23＝32；

③ 13＋23＋33＝62；

④ 13＋23＋33＋43＝102 ；

…… ……

由此规律知，第⑤个等式是．”

这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。

四、要善于寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。

譬如，玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个。”

这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。

五、要抓住题目中隐藏的不变量

有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。

例如，2006年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 。”

在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。

六、要进行计算尝试

找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。

例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。试按此规律写出的第10个式子是。”

这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。

系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。

从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。

所以，原数列第10项是34x9。

“条条道路通罗马”。解答找规律这一类题的思路有许多条，这里只是把“常用”的解题思路做一个简单的总结。有兴趣的老师还可以从解方程组的角度、拉格郎日插值定理的角度、求函数解析式的角度进一步研究解决这一类问题的新途径。

（1）1，（2)1+5=6,(3)1+5+9=16.请问第n个为多少？请写出过程。

第一个数为1

第二个数为1＋5＝6

第三个数为1＋5＋9＝15

第四个数为1＋5＋9＋13＝28

由以上的规律中可以发现，每增加一层，所增加的数比前一个数多4，

第n个数最后增加数的求法为4×(n－1)＋1 ∴由第1个数连续加到最后一个数的总和为(1＋最后一个数)÷2n

再把前2个算式综合起来就可得到第n个数为[2＋4⨉(n－1)]÷2n 即n（2n-1）

设有一列数：1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1，1/5，……

（1）数1/5后的第一个数是什么？

（2）如果我们从左边第一个数开始一直往右数，那么1/9是这列数的第几个数？

解： 由数列：1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1，1/5，……可知 往后分子上的数字逐渐增大直到5为止， 分母上的数字逐渐减小直到1为止，所以数 后的第一个数是 = . 由题意知从左边第一个数开始一直往右数，1到1是1个数，1到 为2个数， 到 为3个数， 到 为4个数字， ⋯ 到 为8个数字， 所以 1+2+3+4+5+6+7+8=36.所以 是这列数的37个数。

3，10，29，66下一个数是多少？

解： 3=13+2 10=23+2 29=33+2 66=43+2 下一个数是：53+2=127

（1）－1，2，－4，8，－16，32，……，第10个数是__________

各数分别可写为

次数依次为0、1、2、3……

当次数为偶数时，前面有负号，

所以第10个数表示为 。

（2）1，－3，5，－7，…，第15个数是__________．

各数的绝对值分别表示为 ， ， …… ，（n表示个数）

且个数是偶数时，前面有负号，

所以第15个数的绝对值为 。

前天晚上和我妈聊天的时候，不知道怎么就聊到了刚子。我说，刚子可以写进小说里。妈说，他们家那几个人你挨个写啊？我想了一下，还真是！

先前我写过大舅和大舅妈，也写过他家的二表哥，那时候，怎么没有一鼓作气的直接写刚子呢？我忘了！

对了，先介绍一下，刚子是我大舅的大儿子，可能大我十多岁吧。现在估计有六十岁左右了。

如此一个乡下老头儿有啥可写的？哎！你别说，我昨夜用睡觉前的几分钟还是很认真的梳理了一下，觉得真有可写的，虽然我知道的那点事儿，也是零碎和残缺的……

在我关于童年声音的记忆里，就有一种不能磨灭的呼唤:“刚子，回家吃饭！刚子，回家吃饭！”对了，这是我大舅妈的女高音，往往在炊烟袅袅的时候响起！我舅妈那大嗓门，没成为著名的民族歌唱家只能怨她生活的年代不对！那时候没有选秀也没有星探，要不，她一定成名！

我当年居住的东北农村，是在两座不高小山的夹沟里。大舅妈家几乎在村子的中部，她那一嗓子“刚子！吃饭！”几乎在村里的任何一个角落都能听到！

我五岁的时候就想，这刚子也太野了吧？每顿饭前都要喊回来吗？

或许，我对刚子的记忆不是他那憨憨的样子而是先于舅妈的呼喊吧？

其实，等我上小学以后，开始比较全面的了解刚子的时候，我就开始礼貌的叫他大哥了。为啥呢？说句比较私心的话，我是在寻求一种保护！

我没有亲哥，只有一个比我小三岁的妹妹。我爸由于历史原因可以说是被“嫁”到我姥爷他们这个村儿的。所以，我爸，我，以及我妹妹在这个以“高”“李”“徐”“王”为主姓的村子里是唯一姓“赵”的人。而我姥爷活着的时候，或许村里人称呼这家的户主很可能是姥爷的名字？我那时候还小，没有考证，但是，我估计是那样！

而我姥爷偏偏没有儿子。他只好得了四个女儿的“寄”！

我爸呢，一个中学老师！为人师表，一生示范。颇得当地人的尊敬，自然不会“护”着我。

你想吧，在那个闭塞又偏僻的小村里，我的童年该是怎样的憋屈？况且我小时候莫名其妙的厌食，长的又瘦又小，说是病猫都说大了，应该是饥饿的耗子。比我大一点儿的小男孩，总是欺负我，不是踢我就是揪我，还轻贱的给我起外号！那个让我倍觉侮辱的外号几乎伴随了我的整个童年，让我感到无比的愤怒又无可奈何！甚至，小学时候的同班女生也欺负我，常常嬉笑着看我做值日。或者，提了扫帚追打我。

我写这些干嘛呢？无非都是不美好的回忆。之所以不忘，除了悲伤会有阴影，就是那时候，是有期望的！我后来问我妈妈才知道，她和我大舅是一个爷爷的！也就是说，我和刚子大哥的躯体里流着十六分之一的相同血液。我妈和我姨，那时候都亲切的叫我大舅一声“哥”。所以，我记忆里也觉得大舅是亲的。那么，刚子就是理所当然的“大哥”。

后来，再有小孩儿欺负我的时候，我就会大声说，刚子是我大哥！

你别说，有时候，还真顶用！或许有的小孩儿不知道哪一个是刚子。可是，几乎每天晚饭前，我舅妈在院门口那一声“刚子，回家吃饭！”就像是晴天里的霹雳。就像是现在的某种电视广告。天天在你耳朵边炸响。你就从那高音里也自然觉得刚子是一个高大威猛的人！

其实，刚子本人也真的不矮。主要是他健壮。宽宽的肩膀，硕大的脑袋，泛黄的大牛眼珠子，再配上鲶鱼样的宽嘴巴。熟悉的不觉得吓人，若是旁人冷眼一看，还真有点怕怕的。

刚子大哥脾气有点犟。我猜他好像是属牛的。他认准的事，十匹马都拉不回来。不过，他平时不太发牛脾气。

我小时候，很想在他身边玩儿。可是，他那时候根本不把我放在眼里啊！或许，他那孔武有力的壮小伙子没人敢欺负。他断然不会理解我胆小又怯懦的心情吧！

所以，我就偷偷的在离他不远的地方晃儿。他该干嘛干嘛，或许也忽视着我的存在。但是，在我，却多了一份安心和保障。

刚子哥力气很大，干活不惜力。人也实在。村里谁家有什么粗活儿累活儿都叫他去干。他从来不拒绝，好像他天生不会拒绝一样。

我常常看到他一个人，两膀一晃就把二百斤的一大麻袋苞米扔到肩上，然后一气不歇的扛到一里地远的磨米坊去。他一干活就爱出汗，我总能看到他的破衬衫一直湿着贴在身上，显出他健硕的后背。

那时候，我家诸如打井啊，砌墙啊，托坯啊，运煤啊，或者秋天收土豆，装了袋从地里往家扛等等重体力活儿，我妈都让我去找刚子哥。是的，每每他都会丢掉自己手里正干着的活儿，然后来我家帮忙。

刚子哥除了管我爸叫“四姑父”以外，还是我爸的学生。虽然他可能初中都没有读，但是，他做学生的时候一定是怕我爸的。（他读书的时候，我爸所在的学校初中和小学还没分开）我爸对亲属家的孩子要求格外严，是我亲属里都知道的事儿。就连我二姨家最顽皮的三哥，物理考试在卷子后面画大树的主儿，见了我爸也总是要远远的躲开或者装模作样的眯儿着。

我爸就不止一次的说过，刚子不是学习的料！可能，所谓的命中注定，就是这样吧？有些事你做不来，那就不能强求，或许，总有适合你的事儿去做吧。

刚子哥的强项就是干活儿！我可以不夸张的说，在我们村，没有人比他更能干——我说干农活儿！

庄稼人，不干农活儿干嘛呢？庄稼人干不好农活儿那能行吗？——这是我常听刚子哥说过的话。

所以，他给自己定位好了——一个好庄稼人！他就按这个来要求自己！

我写过一篇“二哥”的小说，是写他二弟的。他二弟和他好像不是一个家庭里熏陶出来的人。他二弟就很懒，很馋，还爱赌博。这让刚子哥很是生气。为此，我大舅都管不了的老二，在结婚前没少挨刚子哥收拾。打也打了，骂也骂了，终是不成器。直到后来晚婚娶了一方二婚头，才让那女人给管教捋顺了！那是后话。

刚子哥总想通过他的努力干活儿来改变家庭的命运。其实，说白了，就是多出点儿力，多挣点儿钱呗！

大舅三儿一女，早些年生活是紧巴巴的！我记得大舅妈天天喊穷。他家过年的时候，总不能给孩子们换新衣服。我大年初一给舅妈拜年的时候，看到我换了新衣。舅妈就伤感的说，我家孩子是换不起的！

我妈不止一次的和舅妈说，嫂子，你别天天喊穷，都把好运喊没了！

可是，舅妈总是唉声叹气的样子，脸上的皱纹从我记事儿起就跟蚯蚓聚会似的没散过场儿。

或许，就是这样的贫困家庭，反倒让刚子哥懂事早了吧？他早早就辍学了。帮家里干活儿。

农活儿，对于我是讨厌的事儿！可是，对于刚子哥，那还真不是个事儿！他小小年纪就样样精通。从春风来干到冬雪落，没有他不会，或者干不来的活儿！尤其是出大力气，又脏的活儿，他干的还越有劲儿呢！

对此，我爸给他的评价很高，常常教训我说，拿出你大哥干活儿的劲儿，你用在学习上，啥大学考不上？！

我就心里偷偷说，哼！看他那傻样吧！天天不停脚的干，浑身脏兮兮的，跟个傻驴似的！

可是，傻干有啥不好呢？或许有人喜欢他能干活儿呢！

事实真是那样，刚子哥不到二十就结婚了！虽然大舅家经济条件不好是大家都知道的事儿！可是，十里八村姑娘堆儿里最聪明的女孩儿，还是相中了刚子。

后来，我问过大嫂: 你这么伶俐的人咋能相中我大哥呢？

大嫂不忌讳的说，还不是看中了你大哥踏实能干，又没有恶习！难道是看中了他那丑样？

哈哈！这大嫂是聪明人！她知道以后自己就是家里的女皇，可以驱使大哥这样最能干的苦力去工作！只要肯干，还有不富裕的道理？！

果然，他们结婚以后不久就分家另过了！最开始，他们住在大舅家三间泥草房的西屋。刚子哥农忙的时候在家侍弄地，农闲时去酒厂干活儿。

那年过年，刚子哥给我妈拜年的时候说，他在酒厂里就干最累的活儿，翻酒糟。我不知道那是一种怎样的劳动。只听刚子哥说，那活儿太繁重，一般人是顶不下来的！他累的挺不住的时候，就去接酒头喝，据说度数很高！他说，我喝酒就是那时候练出来的！

后来，酒厂经营不善，他就去砖厂打工。砖厂更没有轻快的活儿，可是，你为了挣钱还能怕出力气吗？

有一回，他一个不小心，推砖坯的独轮车翻了，砸伤了小腿。他只好休养。可是，还没等痊愈呢，他就呆不住了。去一百里以外的县城倒卖麻花。

是的！那时候，村里还没有那么多食杂店。他骑个自行车，货架上绑两个大花筐。一早天不亮，就从家里出发，骑三个多小时，到县城进了二百根麻花，一毛五一根的进价两毛钱卖出，然后一路绕道各个村屯往回走。天黑到家的时候，基本上也卖完了。

有一回，他和我妈说，有那么一天，他前一天干活儿晚了，早上走的匆忙，忘了带饭盒。到了中午就饿的不行了！可是，为了省钱，他都舍不得掏一根麻花吃，在上二马架子那个山坡的时候，他有点饿晕了，居然从左边上自行车，从右边栽了下去。

刚子哥说，就那样，他也没吃一根一毛五的麻花，喝了口水，坐了二十分钟，又上路了！

当时，我妈就给他教训了一顿。之后和我转述的时候还慨叹说，你大哥真是恨家不起，舍命不舍财啊！

多年以后，我亲耳听刚子哥说，他日子过好的时候，有一次放开肚皮狠狠的吃了一次麻花，居然一气吃掉十二根！看来，是那次跌下自行车记的仇吧？

现在想想，年轻时候的刚子哥傻的有点儿可爱吧？

就是凭着那一股子冲劲儿和干劲儿，还有那么一点点的虎气儿和傻气儿。大嫂当年的赌注是下对了！九十年代初，刚子哥就把我老姨家东院的那所旧房买下来，扒倒翻新，盖了四间大砖瓦房。那时候用瓷砖铺地，塑钢做窗，厨卧分离的设计就是最先进的了！

我们都为他高兴！尤其我看到舅妈有了难得的笑脸。

等我刚上初中的时候，刚子哥的大儿子就出生了，那可是一件大事。因为是大舅的长孙么，也等于添了又一辈儿的人。亲友们都为他祝贺，似乎比他结婚的时候还要热烈。

如果我记得不错，刚子哥大儿子的名字是我妈给起的，毕竟我妈在我姥爷那面亲属里是很被尊重的！那孩子叫“文斌”，可能我妈那意思是希望那孩子文武双全又偏具文才吧！

可事实有点出乎我妈的期待，那孩子也不知道是让我刚子哥他们两口子咋教育的，反正不理想。

当然，现在我也是一个高三学生的家长，我们每个家庭都有教育孩子的模式，没有固定的标准，我们也都是第一次做人家长。都是摸索着找到适合自己家孩子的教育方式。

这里，我没有批评刚子哥的意思，我只是讲他的事实。

说到这儿，我还要先有一点插叙。就是刚子哥还有一个三弟，比我小一岁，我也叫他三弟。我俩是小时候一起玩大的，虽然他明显高我一头，也不叫我哥，但是，他还是受我的影响比较大。

我除了父母是老师的影响以外，二姨家的大表哥也对我有很大的指导，他从小就告诉我们要有理想，要走出山沟子，到外面的世界去看看。所以，那时候我们就在幼小的心灵里种下了脱离黑土地走向更远方的种子。也开始寻找不同的书籍和讯息，开始结识南方的笔友，开始学写诗，学投稿。

当然，文化课也被迫或强迫着自己努力的学。

本来，我大舅和舅妈是没抱希望自己的四个孩子要通过学习来改变命运的。可是，后来，我上初中以后，他们家的三弟和我走的就更近了，几乎是天天早上和我一起去上学。路上有八里地，我会给他讲我学到的一些大道理，以及我和后来考上厦门大学的一个深圳笔友的通信内容，间接的开化和启迪了他的思想。其实，我那三弟脑袋瓜子不太灵光，人又木讷少言，书面说法是智商不高。不客气的说，受我的影响，觉得也要走一条和他哥哥不一样的路了，就真的拼命学习。舅妈自己说，老三晚上睡觉都不脱衣服，看书没有不过十二点的！那时候，在我们乡下，为了省电或者省蜡烛，冬天天黑的早，五点多就睡觉了。我这三弟，困不行了，用冷水洗把脸，接着苦读。惹得我大舅不少的臭骂。当然，我也听过刚子哥的抱怨:读书能读出个啥啊！

后来，造化弄人，我三弟费了那么大的努力，还是没有考上中专，最接近的一次只比录取线低了1.5分。真是遗憾。那时候，他是不考高中的，因为我大舅不同意他读高中考大学，说费钱！要是他和我一样上高中，也会考上大学的！或许就是另一种人生了！

后来，他学了厨师，进了省城打工，开阔了视野，娶妻后做了化妆品生意，风生水起，发了大财，回馈了舅妈和大舅很大的孝心，自己的孩子去年也考上了一个不错的大学，那也是后话。

接回前文，刚子哥看他家三弟，累死累活的学习，也没考出个中专来，还生了气，说，一年一年的复读都不行，可是别耽误了除草和施肥吧！

所以，他自己有了孩子文斌以后，就真的不督促孩子学习，说，吃好玩好！长个好体格子，有一膀子的力气，干啥不挣钱！

有孩儿不愁长，时间最无情。

我觉得还没从农村走出来几年，他的孩子文斌就大了。

等我工作以后，每年再回老屯的时候，就是要等到春节了。

我们还会在除夕夜的那个下午相约去上坟，我姥爷的父亲和刚子哥爷爷的父亲是一个人，我们会在同一片坟地慨叹时光的流逝和岁月的沧桑。

他的大儿子已经出落得比他还高半头的大小伙子了！我说，刚子哥，你太有成就了，这大儿子可以接你的班来上坟了，以后你可以不来了。

他就开心的笑了说，大斌多大，都是孩子，我啥时候都得给我太爷上坟。

大斌那孩子就像是皇亲国戚的后代，养的白胖粉嫩。当然，和你想象的一样，学习不好，早早也就不读书了。可是，他可不像我刚子哥那么能干活儿，他们家的活儿都让我刚子哥和大嫂干完了，只剩下一个好吃懒做的胖儿子！

文斌，一天天在村里闲晃儿，比他二叔当年还甚！

可是，上帝真是公平，比文斌小两岁的妹妹文若，就偏偏喜欢学习。刚子哥总是对趴在炕沿儿上写作业的女儿喊:去给我把鸡喂了食儿，猪赶进圈，顺带扫了当院儿。

文若听话的一溜干完了，回来接着读书，刚子哥又吱使她去打酱油，摘青豆，熬稀粥，剥蒜头儿……

文若依旧转身去干，回来再读。刚子哥就说: 一个丫头片子，学什么习啊！跟你妈学缝裤脚儿不好么？

文若多数时候不说话，实在急了会说:我四姑奶让我好好学习！

她说的四姑奶指的是我妈，刚子哥就不言语了！叹口气，说，你老叔学那样不是也没学出去？哼！

文若学习一直好！中考的时候考上了县城的一中。据说我刚子哥开始不同意她上高中的，后来，我妈出面才勉强同意“供”。

文若是很懂事的孩子，大学8读的是师范定向生。可以免学费的！毕业后留校做了手语教师。

有一年暑假，我和国新表弟特意去刚子哥家看望了文若。那女孩儿出落得亭亭玉立，出水芙蓉样的秀美。羞涩中透着农家孩子的质朴，又不失大学生的活力和睿智。我问:你爸是不是高兴的鼻子冒泡了？她就微笑，有点自豪的说，我爸重男轻女，没见他多高兴！不过，你们两位叔叔倒是我年幼时候的榜样呢！

那一次，我是没遇见刚子哥在家，听说是去市里干消防工程的力工了。不然，我一定当面问他:为啥不好好培养闺女上更好的大学？

不过，那天，我遇见了大嫂，她还给我俩去园子里摘最红的西红柿和嫩黄瓜。大嫂明显见老了，头发在脑后挽了个嘎达揪儿，有点像我印象里的大舅妈了。我看她还吸着手卷的粗叶子烟，门牙都熏黑了。想起当年我上学的时候，总上我家要我写完的作业本撕了做烟纸。我就问，大嫂:你现在条件可以了！大房子住着，家里俩大男人都能挣钱了！女儿也马上工作了，你咋还抽这个烟呢？

大嫂苦笑了一下，叹口气说:你不知道现在农村娶个儿媳妇多贵么？你以为像我结婚的时候，你舅妈也没拿出几个“大子儿”啊？现在不行了，管是彩礼就十多万呢！还不算家具什么的。我和你大哥还不得再把裤腰带勒紧几年啊？

那时候，有个邻居路过，正好听了，就打趣大嫂说，你结婚的时候是啥年代？那时候都穷，没给你彩礼你就不叫“妈”啊？

这有点揭人伤疤的意思，大嫂还真不错，也挺孝心，也没少帮衬大舅家。可就是不知道她怎么个原因，结婚的当天，就是不会改口叫舅妈一声“妈”。结果，以后更叫不出来了，为这儿，反成了村邻的笑柄。

大嫂可能也习惯了，不恼。反倒丢一个大柿子过去说，堵了你的臭嘴吧！

后来，我曾就这事问过我妈，我妈说他们家就那传统，你舅妈就不管我五婶（我大舅的妈）叫妈！你大舅妈家的闺女也不管婆婆叫妈。等后来，大斌结婚了，他媳妇也不管你大嫂叫妈！哎！这是个“梗”！

哈哈！这玩意，一个称呼的事儿，还传染了三代！也是难得！

再后来，爸妈也来了城里，我回老屯的次数更少了。

最近的一次回乡，是前年夏天了，话题有点沉重。老三给我打电话说，你大舅“老了”！我当时脑袋“嗡”一下！告诉他:我一定回去送大舅最后一程。

我是一个人开车回去的，我没告诉我妈，怕她一时也接受不了，会很难过的！以后慢慢和她渗透吧！

回乡，不是很远，有一百多公里，我一路上想着的都是点滴的童年故事。

那一晚，我给大舅守夜，一边烧纸钱，一边流泪，我忽然觉得，这个和我妈妈一个爷爷的人，在我心里一直那么亲着！从小到大的生活片段像电影一样一幕幕在脑际飘忽着……

第二天，我举着灵幡和众相亲一起走向墓地。大舅没有回我太姥爷的祖坟，而是埋在了刚子哥家西山的玉米地里。

因为前天下过雨，村路泥泞。去西山有一公里多。原计划用二十四人或三十二人抬棺材的计划只能落空。老三雇了个大型钩机，吊着棺材开到墓地的。我看到刚子哥极其的落寞，眼珠里都是红血丝。

我过去安慰他，他忍住哭声和我说，弟啊！我太难过了！你知道吗？就咱们村所有故去的老人，没有一个不是我抬着下葬的！而且大多数，都是我做杠头。我就想着有一天，你大舅“老了”。我喊一声，会有最多的人来帮我扛寿木。可是，天不随人愿啊！这路面，用人抬太困难了！可是我真不想用钩机啊……

刚子哥说不下去了，他别过脸去，我看到他的肩在颤抖！那一刻，我忽然觉得他的后背，没有以前宽阔和厚实了！

这对我是很震撼的！我忽然觉得一个糙汉子的内心其实也是柔软和深沉的！

这一年多，我没再回过乡下。但是，和我妈聊天的时候，很多次都聊过刚子。我妈陆续从老家亲属的电话里得到的讯息我总结一下，后续的故事是这样的——

大斌结婚几年后离婚了，理由是大斌在市里打工的钱一分也攒不下，因为他白天干活晚上喝酒，赌博，去游戏厅，所以，常常是春节回家的时候，还带着欠债的！刚子哥和大嫂年年还得偷偷给他拿钱堵窟窿。

可是，人家年轻媳妇不干啊！看着没有悔改也不负责任的大斌，一纸诉状离婚了。有个虎头虎脑的男孩给大嫂留下了。用我妈的话说，你大哥两口子啊！等于又多了个孩子！

就那么一个闺女是真好！四年前在另一个城市找了个好公务员嫁了！小家庭那叫一个幸福！可是两年前，刚生了孩子还不到周岁呢，文若的丈夫就突然得了恶疾。不到半年就去世了！

这是个多大的打击啊！

没办法，刚子哥和大嫂只能带着大斌的孩子，去文若的城市。大嫂负责照看文若的小孩儿，刚子哥负责接送孙子上下学。

每每说起刚子哥现在的处境，我妈就唏嘘不止。最近听到的消息是，文若的婆婆言语间似乎还有把文若母女赶出人家房子的意思。

妈说，这可咋整？

咋整？家家都有难唱的曲儿，日子还得继续，慢慢熬吧！

前天，和我老姨打电话聊天，正说得热乎，老姨说，你刚子哥来了！

他们两家本来就住东西院么。我说，让我刚子哥接电话。

我给他拜年！刚子哥憨笑着说，也给我四姑拜年！

我问他近况咋样啊？他说挺好！现在想开了！会生活了！

后来，我老姨告诉我: 你刚子哥和你大嫂经历了这么多，还真是会生活了，以前他俩把一毛钱都能攥出水来！尤其你刚子哥，大年初二就得吃豆包，说肚子里只有装粗粮的胃，你让它装肉包子受不了！

现在，刚子哥每顿饭都得喝二两白酒。天天脸颊红扑扑的！大嫂也抽细杆香烟了，也不觉得没冲劲儿了！还加入村里的秧歌队了呢！说是扭的还好着呢！

哈哈！我听了老姨的话，笑是笑了。可是这心里总好像有个线在悬着，也不知道为啥？

为啥呢？