《三角形的面积》教学设计 原创

1、内容：试讲时间约10分钟；通过贴近学生生活的问题情境导入新课；设计数学活动，帮助学生认识和理解三角形的面积推导过程；体现学生主体性，激发学生的学习兴趣；合理板书。考核目标：活动设计，教学评价，教学实施。

2、教学目标：知识与技能目标：掌握三角形的面积公式，理解三角形公式的推导过程，能运用面积公式解决实际问题。过程与方法目标：通过推到三角形的面积的推导以及引用，提高学生的分析问题和解决问题的能力。情感态度与价值观目标：通过师生交流活动，学生积极参与数学活动，体验数学的严谨性以及数学结论的确定性。

3、教学过程：故事导入。财主要给两个儿子分地，其中一块田地是平行四边形，一块地是三角形（图片展示），那同学们能不能帮老财主算一算哪个田地的面积大呢？我们已经学过了平行四边形的面积，现在我们只需要算出三角形的面积就可以比较了，那我们这节课就来一起探讨下三角形的面积应该如何计算呢？

4、探究新知：同学们观察一下我们平时生活中都有哪些三角形呢，引导同学们踊跃回答，有的说红领巾，有的说三角尺等等。给同学们发一些三角形的道具，有直角、锐角，钝角三角形，让同学们分组讨论，是否有方法求出三角形的面积呢，给学生5分钟的谈论时间，充分调动学生的积极性。

5、谈论完毕，请同学发言，有的学生说，将两个完全一样的直角三角形拼在一起 变成了长方形，可以通过长方形的面积来求得三角形的面积。三角形的面积恰好是长方形面积的一半，有的说，两个完全一样的钝角或者锐角三角形拼在一起，可以拼出平行四边形，可以通过四边形的面积来求出三角形的面积。三角形的面积恰好是平行四边形面积的一半。

6、对同学们提出表扬，指出由于长方形是特殊的平行四边形，所以三角形的面积是平行四边形的一半（在黑板上画出两个三角形拼成平行四边形的样子），可以直观的看到三角形的面积是平行四边形的一半，更有利于同学的理解，由前面的平行四边形的面积S=ah，那么可以推出三角形的面积S=ah÷2，（其中a 是平行四边形的底也是三角形的底边长，h代表平行四边形的高，也是三角形这条边上所对应的高）

同学们现在会计算三角形的面积了吧，可以帮帮老财主计算一下啦，（告知三角形的底和高分别是多少）

7、巩固练习：红领巾的底是100cm，高是33cm，他的面积是多少平方厘米？再加一道材料中的这个题目的做一做里的练习题课堂小结：同学们来说一说这节课我们学习了哪些内容，你又从中学到了什么呢？

任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c),

p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。

证明：

证一

勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC

=

aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x

=

y

=

ha

=

=

=

∴

S△ABC

=

aha=

a×

=

此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，

若BD=u，DC=v,AD=t.则

t

2

=

证明：由证一可知，u

=

v

=

∴

ha

2

=

t

2

=

－

∴

S△ABC

=

aha

=

a

×

=

此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形②

S

=

可知，运用余弦定理

c2

=

a2

+

b2

－2abcosC

对其进行证明。

证明：要证明S

=

则要证S

=

=

=

ab×sinC

此时S

=

ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式

分析：考虑运用S△ABC

=r

p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C

=180○那么

tg

·

tg

+

tg

·

tg

+

tg

·

tg

=

1

证明：如图，tg

=

①

tg

=

②

tg

=

③

根据恒等式，得：

+

+

=

①②③代入，得：

∴r2(x+y+z)

=

xyz

④

如图可知：a＋b－c

=

(x+z)＋(x+y)－(z+y)

=

2x

∴x

=

同理：y

=

z

=

代入

④，得：

r

2

·

=

两边同乘以

，得：

r

2

·

=

两边开方，得：

r

·

=

左边r

·

=

r·p=

S△ABC

右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理

半角定理：tg

=

tg

=

tg

=

证明：根据tg

=

=

∴r

=

×

y

①

同理r

=

×

z

②

r

=

×

x

③

①×②×③,得：

r3

=

×xyz

1、通过让学生积极主动地去探索三角形面积计算公式，亲身经历三角形面积公式的探索形成过程，感受转化的数学思想和方法。 2、让学生理解三角形面积计算公式，能正确地计算三角形的面积。 3、通过动手操作、观察、比较，培养学生问题意识，概括能力和推理能力，发展学生的空间观念。 教学重点、难点： 让学生经历三角形面积公式的推导过程，培养转化的数学思想和方法,概括能力和推理能力，发展学生的空间观念。 教学设计： 一、复习. 提问：你知道的平面图形有哪些？（根据学生回答出示相应图形） 我们学会计算面积的有哪些？（板书：长方形面积=长×宽） 师：今天我们一起来研究三角形的面积。 （生：……） 三角形的面积=底×高÷2是我们从书中了解到的，是数学家推导出来的。是依据什么、怎样推导出的呢？今天我们也来作回数学家，利用你们手中的三角形，通过拼一拼、折一折、剪一剪把三角形转化成已经学过的长方形来推导出三角形面积=底×高÷2。 二、动手操作，归纳 1.学生以小组合作的形式来推导公式。 （每个小组有一套三角形学具，包括2个完全相同的直角三角形，1个等腰三角形，1个钝角三角形和1个锐角三角形） 汇报、展示 2、归纳、演示 把一个等腰三角形沿着底边上的高，从中间剪开成两个三角形，（这两个三角形大小相等、形状相同）拼成一个长方形。 拼成的长方形的长就是原三角形的高，长方形的宽是原三角形的底边的一半。所以长方形面积= 高×底÷2也就是三角形的面积。所以三角形面积=高×底÷2，变形后得：三角形面积=底×高÷2 把一个直角三角形的一条高对折后剪开，把剪下的小三角形补在一边，拼成长方形。 拼成的长方形的长是原三角形的底，长方形的宽是原三角形高的一半。所以长方形面积=底×高÷2，也就是三角形的面积。所以三角形面积=底×高÷2 等腰三角形和直角三角形是特殊的三角形，那么是不是只有特殊的三角形才能转 化成长方形从而推导出三角形面积公式，而一般的三角形就不能呢？ 把一个三角形沿着两边的中点对折，然后把两边多余部分往里折，折成一个2层的长方形。 折成的长方形的长是原三角形底边的一半，宽也是原三角 高的一半，所以长方形面积=底÷2×高÷2。而这样的长方形有2个，所以 三角形面积=底÷2×高÷2×2，变形后得：三角形面积=底×高÷2 把2个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，长方形的长就是直角三角形的高，长方形的宽就是直角三角形的底。长方形面积=底×高，三角形面积是这个长方形面积的一半，所以三角形面积=底×高÷2 3、教师小结 同学们真了不起，想出了这么多好方法推导出三角形的面积公式。如果用S表示 三角形面积，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那么三角形的面积公式的 字母表达式可以写成S=a×h÷2。有了这个公式我们就可以解答有关的题目了。 三、应用 口答下列三角形的面积。练习。（单位：cm） 四、小结 谈谈这节课你的收获是什么？通过学习你能解决什么生活问题？

希望满意！

一：平行四边形的面积设计理念

平行四边形面积的计算是在学生已经掌握并灵活运用长方形,正方形面积计算公式,理解平行四边形特征的基础上,进行教学的.这部分知识的学习为后续学习三角形、梯形等平面图形的面积奠定良好的基础.本节课是促进学生空间观念发展,渗透转化、等积变形等数学思想方法的重要环节.

教学思路：本节课充分运用转化迁移思想,重视学生动手操作与实践,引导学生用已学过的知识去获取新知.设计时,我力求做到以下几点：

1从学生已有的认知出发,体现教学的有效性

在复习长方形的面积的基础上,本课一开始让学生猜测平行四边形的面积大小跟什么有关,从而暴露学生的原认知,让学生通过讨论、交流产生思维的碰撞,逐步得到正确求平行四边形面积的方法.

2体现“教师是教材的创造者,学生是学习主体”的教学理念

本节课为学生提供广阔的时间和空间,让学生去发现,去探索、去创造,让学生在动手做中建构、内化、提升.

3有机渗透数学思想方法,培养学生能力

我们知道课堂上不仅仅是传授知识或者教会什么,而是让学生会学.本节课重在引导学生明白求平行四边形面积可以把它转化为长方形,根据长方形面积的计算方法求平行四边形的面积.另外通过学生动手剪拼,电脑演示,进一步渗透转化的思想方法.

教学目标：

知识目标：经历探索平行四边形面积计算公式的过程,学会计算平行四边形的面积.

能力目标：通过实际操作,发展学生观察、操作、推理、交流能力,培养运用转化的方法解决实际问题的能力.

情感目标：感受数学与生活的联系,培养学生的数学应用意识

教学重点,难点：理解平行四边形面积公式的推导过程

掌握平行四边形面积计算公式

二：《平行四边形的面积》教学设计

一、目标预设：

1、使学生经历探索平行四边形面积计算公式的推导过程,掌握平行四边形的面积计算方法,能应用平行四边形的面积公式解决相应的实际问题.

2、通过让学生亲身经历和感知平行四边形面积公式的推导过程,培养学生的观察操作能力,领会割补的实验方法培养学生灵活运用知识解决实际问题的能力培养学生空间观念,发展初步的推理能力.

3、培养学生合作意识,渗透转化的数学思想和事物间相互联系的辩证唯物主义观点.

二、教学重、难点：

教学重点：让学生通过经历和感知平行四边形面积公式的推导过程,理解并掌握平行四边形的面积计算公式

教学难点：

（1）观察拼出的长方形和原来的平行四边形发现了什么

（2）理解平行四边形面积计算公式中底和高的对应关系

三、教学准备：

方格纸、平行四边形卡片、剪刀、三角板、直尺、几何画板课件等

四、教学过程：

一、复习引入

1、这是什么图形

2、看到这个图形,你能想到哪些跟它有关的知识

我们今天将继续学习有关它的知识

————————平行四边形的面积

二、交流互动,发现矛盾

师：请你猜一猜,要计算平行四边形的面积,老师需要给你什么信息?

生：底、高、邻边、角度

师：老师给你这些数据,请你静静想一想,并在草稿纸上计算

生：10×5=50, 10×4=40

师：10×5=50你怎么想到的?

生：长方形的面积等于长×宽想到的

师：你从长方形面积想到,平行四边形的面积等于底×邻边,好像很有道理

师：那10×4=40你又是怎么想的

生：将平行四边形左边的三角形补到右边,拼成一个长方形,这时长方形的长是10,宽是4

师：你想到剪拼的方法,也有道理

师：看来,这两种方法都有道理,我们只好逐一验证,我们先来验证这种用剪拼的方法,好吗?你们想不想动手试试

三、动手操作,探究交流

师：请带着这两个问题①转化成什么图形?为什么?

②转化后的图形与原来的图形有什么联系

请动手画一画、剪一剪、拼一拼

学生操作,反馈

【预设】学生可能会出现的剪拼方法有：

学生展示时

师：这条线是什么线

生：高

师：你为什么拼成长方形

生：长方形的面积,我们已经会算

师：这几种方法,有什么共同点?

生：都沿着高剪

师：为什么沿着高剪,斜着剪可以吗?为什么?

生：不可以,拼不成长方形

四、交流合作,形成新知

老师把这两种方法,整理到电脑

请你们仔细观察,拼成的图形与原来的图形之间有什么联系?请先静静独立思考,再同桌交流

生：面积相等

师：同意吗?

生：长方形的宽等于平行四边形的高

生：长方形的长等于平行四边形的底

教师课件演示,同时板书

师：现在你会怎么推导平行四边形的面积公式呢?

生：因为长方形的面积=长×宽,长方形的长等于平行四边形的底,长方形的宽等于平行四边形的高,所以平行四边形的面积=底×高

师：思路清晰,表达完整,你真棒

师：为了书写方便,面积用S表示,底用a,高用h表示,则用字母表示的公式是?

生：s=ah

师：经过你们的探究,得到平行四边形的面积=底×高,那另一种5×10=50是错的,它错在哪里呢?

生：5这条边是斜的

师：斜的真的有影响吗?我们来做个小实验,看有什么发现?

生：面积改变了

生：边长没有变

师：所以用底×邻边来求平行四边形的面积是错的

下面让我们静静思考下,我们刚才是怎样得到平行四边形的面积计算公式的

生：我们吧平行四边形剪拼成面面积相等的长方形,利用长方形的面积计算公式推导出平行四边形面积=底×高

五、活用结论,实际运用

下面我们利用平行四边形的面积计算公式来计算一个平行四边形花圃的面积.请动手算一算

例1：平行四边形花圃的底是20米,高18米,它的面积是多少?

S=ah=20×18=360(平方米)

练习 ：求下列平行四边形的面积

“三维目标”是指知识目标、能力目标和情感目标，是用以指导课堂教学过程的基本要素。如何设计好“三维目标”是教学设计的关键环节， “三维目标”设计的合理性直接影响着课堂教学过程和教学效果。笔者在多年的教学实践和观课、议课的过程中发现，同一教材内容，在不同的教学条件下、面对不同的教学对象、甚至在不同的教学时期所体现的三维目标都是一样的，这就使得在教学实践过程中教学目标有些过于保守，有些过于牵强。毋容置疑, “三维目标” 是在课程标准的要求下制定的，而在课标大方向的指导下很多教师忽略了目标设计的灵活性和合理性，从而导致课堂教学效果不够理想。 新课程改革强调素质教育，重视人的发展，提倡课程与生活的联系，因此在教学过程中应构建具有教育性、创造性、实践性、操作性的以学生为主体的教学形式，以鼓励学生主动参与、主动探究、主动思考、主动实践为基本特征，以实现学生多方面能力综合发展为核心，以促进学生整体素质全面提高为目的教学活动。新课程课堂教学评价体系为“三维度模型”：即维度一：教学计划方案评价；维度二：教学指导过程评价；维度三：教学指导效果评价。

在日常教学中让学生多种感官并用,亲自参与教学中的实践操作、观察、合作交流，亲自摸一摸、看一看等（即：百闻不如一见），往往会收到事半功倍的效果，这也是新课程所倡导的理念。例如：我在教学小学数学第九册三角形的面积计算公式的推导过程的教学设计时，我是这样做的:

首先，确定这节课的教学目标是： 1、在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积； 2、通过操作和对图形的观察、比较、发展空间观念，使学生知道转化的思考方法在研究三角形的面积时的运用，培养分析、综合、抽象、概括和运用转化方法解决实际问题的能力； 3、培养创新意识和合作精神。 教学重难点：三角形面积计算公式的推导过程。 教学准备：三角形面积计算公式的推导的演示器，两个完全一样的直角三角形、两个完全一样的锐角三角形、两个完全一样的钝角三角形。

其次,在教学过程中是这样处理预设和生成的关系的: 教学过程:(分为三步)

一、导入：让学生观察自己的红领巾，它是什么形状？怎样计算它的面积？今天就来研究三角形的面积的计算方法。板书：三角形的面积

二、教学实施: 1、回忆平行四边形面积计算公式的推导过程（个别发言）。 2 、教师组织、引导、参与、合作完成三角型面积计算公式的推导过程（小组合作完成）： （1）用两个完全相同的锐角三角形拼成一个平行四边形； （2）用两个完全相同的钝角三角形拼成一个平行四边形； (3) 用两个完全相同的直角三角形拼成一个平行四边形； 这让学生通过实践操作、观察、交流、分析、发现后,教师进行相应的讲解，引导总结出：S=ah÷2 3、设疑：只用一个三角形，能不能转化成学过的图形，从而推导出三角形的面积计算公式。 学生通过思考、操作、交流后发现（知识自动生成），只不过学生不知道这些方法叫什么（割补法、折叠法），教师进行点拨后学生便很快理解和掌握了。 4、学生自学例题，教师进行帮助。 5、课堂小结（个别发言、补充）。

三、课堂练习： 1、学生独立完成教科书上的“做一做”和相关练习题，适时教师进行个别辅导、帮助。 2、教师出示事先设计好的补充性题目（有一定梯度、图文并茂））巡视、参与学生完成。

“教学设计一”中的教师采用了传统的“灌输式”教学方法，没有引导学生去积极思考，让学生主动应用已掌握的知识进行探索。（3分）这种教学方法有利于学生在短时间掌握知识，提高学习技能，但如果一味采用这种方法，将使学生形成接受学习的方式，只会模仿，不会灵活运用，更不会创造。（5分）

“教学设计二”中的教师采用了比较的方法、启发式的教学方法，注重引导学生展开知识发生的过程，引导学生自己探索，自己思考，从而得出结论。（3分）这种教学方法将引导学生学会学习，形成自主学习、自主探究、合作学习的学习方式，从而促进师生的共同发展。（5分）

小学六年级数学《圆的面积》教学设计

教学内容:九年义务教育六年制小学数学第十一册第115页至116页。

教学目的:

1.通过操作,引导学生推导出圆面积的计算公式,并能运用公式解答一些简单的实际问题。

2.激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣,培养学生的分析、观察和概括能力,发展学生的空间观念。

3.渗透转化的数学思想和极限思想。

教学重点:圆面积公式的推导。

教学关键:弄清圆与转化后的近似图形之间的关系。

教具:多媒体计算机、幻灯片。

学具:16等份和32等份的圆形、剪刀、刻度尺、一张圆形纸片。

教学过程:

一、设疑导入

1.启发学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程。(微机演示)

2.微机显示一个圆,再把圆涂成红色。提问:这是什么图形?看到圆想到什么?圆所围平面部分的大小叫什么?(圆的面积)出示课题。怎样计算圆的面积呢?请同学们思考。

[评:通过对旧知的回忆,激起学生从旧知识探索新知识的兴趣,并决定思想方向,有利于学生想象能力的培养。]

二、新课教学

1.通过度量,猜想圆面积的大小。

用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆面积,

(如图)观察后得出圆面积比4个小正方形小,好象又比3

个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多

由此看出,要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形,今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式呢?

[评:这一探索性地设问,使学生产生悬念,引入深思。它与得出圆面积计算公式后的验证,前后呼应,融为一体。使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象,而且有助于避免与圆周长的计算公式(C=2πr)产生混淆。]

2.学生操作。

(1)学生分别把16等份和32等份的圆形剪开,拼成两个近似的长方形。(微机显示)老师提问:

①拼成的图形是长方形吗?(是近似的长方形,因为它的上下两条边不是线段。)

②圆和近似的长方形有什么关系?(形状变了,但面积相等)

③把圆16等份和32等份后,拼成的图形有什么区别?(32等份后拼成的图形更接近于长方形)

如果把一个圆等分成64份、128份……拼成的长方形会怎样呢?(微机显示)(圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。)

④近似长方形的长相当于圆的哪一部分?怎样用字母表示?(圆周长的一半，C/2=πr),它的宽是圆的哪一部分?(半径r)

⑤你能推导出圆面积计算公式吗?

[评:指导学生自己动手,并通过微机演示,把一个圆剪拼成近似的长方形,从长方形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,可以培养学生初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点。]

(2)把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr2

(见图一)

(3)把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。三角形的底

相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr2

(见图二)。

(4)把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 (见图三)。

3.小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。说明在求圆的面积时,都要知道半径。

4.比较圆周长和圆面积的计算公式,找出联系和区别,加强记忆。两个公式都与π有关,但圆周长等于直径长度的π倍,而圆面积等于以半径为边长的正方形面积的π,即r2等的π倍。

5.自学例1。注意书写格书和运算顺序。

[评:引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法,利用等积变形把圆面积转化成近似的长方形、等腰三角形和等腰梯形,从而推导出圆面积计算公式。同时,利用计算机的演示,化静为动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步加深对圆面积公式推导过程的理解。

三、看书质疑

四、巩固练习

1.看图计算圆的面积。

2.根据下面的条件,求圆的面积。

r=6厘米 d =0.8厘米 r=1.5分米

3.一块圆形铁板的半径是3分米,它的面积是多少平方分米?

4.要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看谁先做完,谁想的办法多?

(1)可测圆的半径,根据S=πr2求出面积。

(2)可测圆的直径,根据S=π(d/2)2求出面积。

(3)可测圆的周长,根据S=π·(c/2π)2求出面积。

[总评:这节课有两大特色:

一、始终把学生放在学习的主体地位,有目的地培养学生获取知识的能力。

学习是学生的内部活动,因此,在课堂教学中既重视其学习结果,更要重视学习过程,培养学生自己探索获取知识的能力。这节课的教学,紧紧抓住"圆面积公式的推导"这一教学重点,敢于放手让学生自己动手操作,归纳推理。通过学生多次不同的剪拼,采用假设、转化、想象等方法,利用等积变形把圆面积转化成其他的平面图形,逐步归纳概括出圆面积的计算方法。这样多层次的操作,多角度的思考,既沟通了新旧知识的联系,又最大限度地激发了学生的求知欲,学生学习兴趣盎然,课堂气氛十分活跃,使学生不仅知其然,更知其所以然。

(二)运用现代教学手段辅助课堂教学,提高了教学效率。

计算机辅助课堂教学,有其直观、形象而又生动的特点,它能使静态的画面动态化,抽象的内容形象化,同时还不受时间和空间的限制,这节课恰当地运用了微机演示,充分调动了学生的学习兴趣,提高了课堂教学的效率,是其它教学手段无法比拟的。