悬链线是什么
悬链线是一种常用曲线，物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀引力作用下的软绳的形状，因此而得名。它的公式为：或者简单地表示为其中cosh是双曲余弦函数，是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数，轴为其准线。具体来说，，其中是重力加速度，是线密度（假设绳子密度均匀），而是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。在工程中有一种应用，称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：
File:Catenary02.png
还有以下几个公式，可能也有用：
其中是曲线中某点到0点的链索长度，是该点的正切角，是0点处的水平张力，是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。
方程：y=a cosh x/a。
悬链线（Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。
适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)，其中，a为曲线顶点到横坐标轴的距离。
简介
悬链线，即一根质量不可忽略、弹性可视为零、两端自由悬挂的绳或链，在重力作用下下垂弯曲形成的曲线。
我们对悬链线的直观认识无处不在，从空闲的晾衣绳、农家风格的粗绳栏杆，到悬索桥中跨的主缆、挂着水珠的蜘蛛网、两根电线杆之间的电线等等，都有着相似的曲线形态。这优美的对称曲线强烈取悦着我们的眼球。
指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。
适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)，其中，a为曲线顶点到横坐标轴的距离。
解决问题：
与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。
最小作用量原理
最小作用量原理也称哈密顿原理，是牛顿力学和拉格朗日力学的分水岭，大致可表述为：
粒子所遵循的轨迹是作用量最小化的轨迹。
在我们的情况中，悬链线就是在此情形中重力势能最小的曲线。最小作用量属于变分问题，可用变分法求解。
假设重力加速度恒为g，则某物体重力势能可表述为 . 设绳子两端点距离为L.
建立x-y坐标系，y表示高度，y(x)代表绳索形成的曲线, 绳索关于y轴对称。绳子上每个点的重力势能个表示为重力势能公式两边求导的结果： .
设绳索单位长度质量为 , 则根据其定义， , 所以
代入得
作用于整条绳索上的重力势能表示为：
要找到使Ug最小的y(x)属于泛函极值问题，如同任何其它极值问题，对自变量求导即可。
从上文我们发现，Ug可以表示为x, y(x), y'(x)的函数，记作：
此时使Ug最小化的y(x), L(x)需满足欧拉-拉格朗日方程：
欧拉-拉格朗日方程左侧为：
右侧偏导数部分为
再对x求导得：
得到等式：
进行一系列暴力化简：
对原式再次求导：
两边积分，区间为0至x：
已知此类微分方程的解为：
由坐标系设定，y(x) 应为偶函数，所以c2 = 0
代入初值即可得到悬链线的表达式
如果将悬链线倒置，将会得到一个稳定的拱形
