一条长为L的柔软链条

设 铁链单位长度质量为λ，某时刻桌面以下的长度为 y,速度为v

则：λyg=d(λyv)/dt= λvdy/dt+ λydv/dt

由题意 dy/dt=v

所以 λyg= λv²+ λydv/dt

dv/dt =(dv/dy)(dy/dt)=vdv/dy

故 λyg= λv²+ λyvdv/dy 消去 λ 可得：

ygdy=v²dy+vdv

两边同乘以 2y

2y²gdy = 2yv²dy+2yvdv=d(y²v²)

两边积分可得：2y³g/3=y²v²

即： v=√2gy/3

（2）设桌面下的链条长为x，链条质量分布均匀，所以在桌面下的链条的质量为

解得x=0.5 m，

（3）链条下滑0.5 m后就会自动下滑，此时速度正好为零时所需初动能最小，根据动能定理有：

由于f和N成正比，N和链条下滑的长度成正比，所以f是均匀变化的．

可以根据平均摩擦力来求Wf

Wf＝

f1是最初瞬间的摩擦力，即fMAX，所以f1=20N

f2是下滑0.5m时的摩擦力，由第二问得知，其大小等于半根链条的重力，f2=10N

解得：Ek0=Wf-

答：（1）链条受到的最大滑动摩擦力为20N；

（2）当桌面下的链条0.5m时，桌面下的链条所受到的重力恰好等于链条受到的滑动摩擦力；

（3）从桌面上滑下全部链条所需的最小初动能为5J．

m'=my/L

对桌面以上的铁链：F-m'g = d(m'v)/dt=vdm'/dt

【说明】：

（1）式中 F-m'g 就是桌面以上的铁链所受合外力 ，方程右边是桌面以上铁链动量的变化率

（2）由于是匀速提起，所以 v是恒量，故 d(m'v)/dt=vdm'/dt

代入 m'=my/L 可得 F-mgy/L =(mv/L)dy/dt

由题意 dy/dt=v

所以 F= mv²+mgy/L

1、理想模型中，在某一时刻，已经从小孔落下的部分具有相同的速度v，还未从小孔落下的部分的速度为0，某一质点由未落下部分变为已落下部分会产生一个速度突变，而且为塑性突变，这时就打破了能量守恒，有部分能量转化为内能散失。（正如经典的刚体塑性碰撞理论，机械能不守恒）。

2、在非理想模型中，同样的道理，绳子上下不可能实现具有相同加速状态，但是绳子的总长度又是不变的，所以在绳子内部总是会存在塑性速度突变，使能量转化为内能。

纯手打，望采纳。

注：塑性速度突变是我自己设定的一个名字，是一种类似于塑性碰撞的过程，指对象质点速度突变后与使其产生速度突变的质点具有相同的速度的突变状态。

N=Mg+2E

则fmh多=μN=μ（Mg+2E）=六0 N

（六）假设有多的链条在桌面o方

得到多=0.5m

答：（1）链条受到的最大滑动摩擦力六0N

（六）当桌面o的链条为0.5m时，桌面o的链条所受到的重力恰好等于链条受到的滑动摩擦力．

所以链条下滑0.5m后就会自动下滑，链条所需要的最小初动能是能够让它下滑0.5m的能量，也就是有一半链条在桌下方。

根据动能定理

Mg/2×L/4-wf=-Ek

由于f和N成正比，N和链条下滑的长度成正比，所以f是均匀变化的。

可以根据平均摩擦力来求Wf

Wf=（f1+f2)/2×L/2

f1是最初瞬间的摩擦力，即fMAX，f1=20N

f2是下滑0.5m时的摩擦力，由第二问得知，其大小等于半根链条的重力，f2=10N

整理求出Ek=5J

设距离为dl，摩擦力做功为，dw=（1-dl）（uMg+uEq）dl,对应的重力能就是0.5dlMg dG-dw=Ek

解得：v=

当有

故答案为：