高一物理链条问题

机械能守恒定律：动能＝势能

末动能：(1/2)(m+2M)v^2

关键是势能的计算：

分4个部分考虑，

桌上小球重心没变不考虑

桌上链条重心下降L/4,为：(m/2)g(L/4)

桌下链条重心下降L/2,为：(m/2)g(L/2)

桌下小球重心下降L/2,为：MgL/2

由：(1/2)(m+2M)v^2=(m/2)g(L/4)+(m/2)g(L/2)+MgL/2

得：v=√[（3m+4M）gL/（8M+4m）]

如果一定用积分，可用　W＝∫ F dX　来求。

F的大小等于悬在外面那部分链条的重力。

初始条件：

设悬在外面的链条长度是 X ，那么这部分的重力是　（mg / L）* X ，所以有

W＝∫ （mg / L）* X * dX ＝（mg / L）* X^2 / 2

X的积分区间从 0到（L / 4）　。

得　W＝（mg / L）* (L / 4)^2 / 2＝mg L / 32

如图，设铁链质量为m，长度为L，以最低点为原点，向上建立y轴，且规定最低点为0势能点。

在 坐标为 y处 取微元dy ， 微元质量 dm=(m/L)dy  

微元重力势能  dV= dmgy=(mg/L)ydy

所以整条铁链重力势能

V=∫dV=(mg/L)∫ydy

代入积分上限 L  下限0积分可得  V=mgL/2

2/3mgΔL=2/3mg*(1/3+2/3*1/2)L=4/9mgL

重心下降,即用重力势能差值除以总重力mg：ΔL=4/9L

即,重心下降4/9L.

重心的位置与物体的结构有关,一条绳子拉直了,重心在中点,围成一个圆环,重心在圆心.

质量均匀的规则物体,重心在其几何中心,也可以结合这一点来理解.

链条的质量线密度为ρ=m/L ，平拉力将其悬挂部分缓缓地拉回桌-->意味F是变力，它始终等于悬挂部分链条的重力，即  F=(mg/L)(L/5-x) ，变力功：

W=∫Fdx=(mg/L)(L/5-x)dx     积分并代入积分限(0-->L/5)

W=(mg/L)x^2/2     代入积分限(4L/5-->L)

W=mgL/50

实际上,圆环任意部分不是由假想的气体压力提供的,而是通过环自身的内部张力,其大小为 F=ρR²ω²（此公式不多加解释,楼主可以自己去查）

现在考虑所张圆心角为2α的一段弧,看它之上的牛顿方程是怎样被满足的,作用在质量为 m=2Rρα的弧上的力为2Fsinα,质心加速度为a=sω²,其中s为质心到圆心的距离.

根据牛顿定律,

2Fsinα = ma

据此和前面的公式,得到s=Rsinα/α

对于1/4圆,则有s=2√2R/π

同理L/4段，质量为m/4，重心在右上顶点下方L/8，设为B

A质量3m/4，B质量m/4，他们的重心在AB直线上离A点近的1/4处。

希望对你有帮助，有疑问请追问O(∩_∩)O哈哈~