矩阵的秩的不等式

两个矩阵乘积的秩满足的不等式如下：

1、r(A)≤min(m，n)≤m，n。

2、r(kA+lB)≤r(A)+r(B)。

3、r(AB)≤min(r(A)，r(B)) ≤r(A)。

4、r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)。

5、r(AC)≥r(A) +r(C) -n上推，令B=In。

6、r(kA+lB)-n≤r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min(r(A)，r(B))≤r(A)。

扩展资料：

m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩，否则矩阵是秩不足的。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为rk(A) 或 rankA。

只有零矩阵有秩0，A的秩最大为 min(m，n) f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称 A有“满列秩”）。

参考资料：百度百科-秩

rank(A)+rank(B)<=n

矩阵的秩与其伴随矩阵的秩的关系

若R(A) = n (满秩),则R(A*) = n

若R(A) = n-1,则R(A*) = 1

若R(A) <n-1,则R(A*) = 0

求矩阵的秩的几种方法：

1、通过对矩阵做初等变换（包括行变换以及列变换）化简为梯形矩阵求秩。此类求解一般适用于矩阵阶数不是很大的情况，可以精确确定矩阵的秩，而且求解快速比较容易掌握。

2、通过矩阵的行列式，由于行列式的概念仅仅适用于方阵的概念。通过行列式是否为0则可以大致判断出矩阵是否是满秩。

3、对矩阵做分块处理，如果矩阵阶数较大时将矩阵分块通过分块矩阵的性质来研究原矩阵的秩也是重要的研究方法。此类情况一般也是可以确定原矩阵秩的。

4、对矩阵分解，此处区别与上面对矩阵分块。例如n阶方阵A，R分解（Q为正交阵,R为上三角阵）以及Jordan分解等。通过对矩阵分解，将矩阵化繁为简来求矩阵的秩也会有应用。

5、对矩阵整体做初等变换(行变换为左乘初等矩阵，列变换为右乘初等矩阵)。此类情况多在证明秩的不等式过程有应用，技巧很高与前面提到的分块矩阵联系密切。

扩展资料：

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

参考资料：百度百科-矩阵的秩

r(A) + r(B) - n ≤ r(AB) ≤ min(r(A), r(B))

现在A(A-E)=0

那么代入得到

r(A) + r(A-E) - n ≤ 0

故r(A) + r(A-E) ≤n

1、r(A)≤min(m，n)≤m，n。

2、r(kA+lB)≤r(A)+r(B)。

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3、r(AB)≤min(r(A)，r(B)) ≤r(A)。

民那意代果角，先己观难构划。

4、r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)。

以会化体线通题料位式件接志济六带商局价。

5、r(AC)≥r(A) +r(C) -n上推，令B=In。

然后用打洞的方法,用一个矩阵把C打成0阵 [ I -CB^(-1) O I ]* [A C O B] =[ A O；O B ]

最后用一个性质 rkST小于等于rkS，也小于等于rkT 得到

rkA+rkB=rk[ A O；O B ] = rk [ I -CB^(-1) O I ]* [A C O B] 小于等于 rk [A C O B]

用电灯的方法就是从定义证，都行

（题主应该少给了条件，猜测是A，B均为三阶矩阵，则n=3），那么AB=0时，r(AB)=0，推出r(A)+r(B)≤3。望采纳

r(A) + r(B) - n ≤ r(AB)

现在AB=0，即r(AB)=0

那么代入得到

r(A) + r(B) - n ≤0

即推导得到r(A) + r(B) ≤n