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图论中有一类重要的问题就是流量问题。求一个流网络的最大流量。那么可以用的方法有很多，比较经典的是FF(Ford-Fulkerson)算法。本文主要描述FF算法正确性的证明。涉及到的知识点：

其中我们用最大流-最小割定理来证明FF算法的正确性

一个流网络的定义如下：

流网络 是一个有向图。具有如下属性：

流网络中有两个重要的顶点 ，其中s叫做源点（source），t叫做汇点（sink）。流网络中的流是从源地点到汇点。流网络中的所有流都从源点出发，然后最终都流入汇点。

如图就是一个流网络的示意图：

网络G的流是一个如下的一个函数：

流具有如下性质：

一个流的值用 表示

表示从 流出的所有值减去流入 的所有值

我们定义一个流网络的割（cut）为：

其中

就是将一个图分割为两个不相交的集合。s在其中一个集合中，t在另外一个集合中，并且两个集合中的点是不相连的

我们引入一些网络流割的属性：

为了证明FF的正确性，我们需要引入一个引理来辅助证明过程

设 为流网络中的一个流，横跨任何切割的净流量都相同，都为 ，即流的值。即证明

证明有两种方式，一种是严格的数学证明，另外一种是直观上的感受，如果对于数学证明没有兴趣的话，那么可以直接去看直观上的证明。

对于 流量守恒 特性，我们有： ，

根据流的值的定义：

，将上面的式子针对每一个 相加得到

我们可以看到，这个等式前面括号的一部分就是 ，后面的一部分根据 流量守恒 知道为0

因此

证毕。

根据流的定义，我们知道一个流网络 的流 的值是所有从 流出的流的和，减去所有进入 的流。那么从 出去的流，最后都会进入到 中。而我们任意的一个切割，都将这个网络分成了两个不相连的部分， 位于一部分 位于一部分。如果流想要从 到 的话，那么必须经过这个切割。而流网络是没有损耗的，因此经过这个切割的流的值，一定等于从 中流出的值和流入值的差，也就是整个网络的流的值。即 证毕。

有了引理1，我们就可以有推论1：网络的流小于或等于网络任意切割 的切割容量，即

证明推论1:

根据引理1，我们知道。网络的流等于任意横跨切割的流，而再根据 容量限制 我们知道横跨任意切割的流小于等于切割的容量。传递过来，我们就有，网络的流小鱼等于任意切割的容量，即

证毕。

有了推论1，我们就可以很明显的得出。一个网络的最大流的值等于一个最小切割的容量。即最大流-最小切割定理。

设 为流网络 中的一个流，该流网络的源点为 ，汇点为 ，则下面的条件是等价的：

(1) 是 的一个最大流

(2) 残存网络 不包括任何增广路径

(3) ，其中 是流网络 的某个切割

我们可以看到，FF算法在可以终止的前提下，终止的条件是（2），我们假设在（2）的前提下有（1），也就是 我们就是需要证明

我们使用反证法来证明。如果一个 是最大流，但是 中存在增广路径，那么根据FF算法就可以增加网络的流的大小，那么这个流就不是最大流了。与我们最初的假设矛盾，因此 是正确的

中不存在增广网络，那么我们就可以将 切割为 定义 ，那么显然有 。 我们对于 会有下面两个推论：

有上面的两个推论，我们结合跨切割的流的定义有：

根据引理1，我们有

因此 正确

根据推论1，我们知道 ，而 中的等于前提，即 即表明了这是一个最大流。因此 是正确的

经过上面的证明我们可以看到， 是一个独立的条件，那么就会有 这样的证明链条，也就有 也就是我们要证明的结论，即FF算法的正确性--在没有残差网络的情况下得到的流一定是最大流。事实上 互为充要条件。

证毕。

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资料扩展：

汤丽柏琦包包按材质可以分为：羊皮、牛皮、帆布等；按包型分可以分为：相机包、马鞍包、链条包、双肩包等等。按颜色分可以分为：酒红、墨绿、黑色、棕色等等。TB的包包在材质的选用上还是比较稳的，五金为24k真金电镀，皮料都是精选进口。另外，网红博主推荐的很多都是羊皮材质的，这种质地柔软的羊皮也是非常考验做工的。

最近经常能在各种平台上刷到长安福特爆款智车新一代智能SUV——福特EVOS，无论是知乎、B站还是微信微博，几乎完全被攻陷一样，我愿称之为车圈第一“网红”。当然了，“网红”车之所以这么红，确实是有很多亮点吸引了一大波新生代群体，比如首款纯电平台FNV架构打造的燃油车名号、超高颜值的SUV整车造型、炫酷的不得了的1.1米超广域巨幅屏……着实让很多人都为之心动~

但是让人心动的不只有车，以前年轻人的第一辆车是从4S店开始了解，现在都在线上，但是长安福特EVOS的4S体验店更是让我们惊艳了一番，开始重新将年轻人拉回4S店，我们今天就带大家一探究竟~

从进门起，这家店就能打破了我们对4S点的固有印象，甚至有些怀疑是不是进错店了。首先映入眼帘的便是宽敞明亮的中央大厅，灯光照射加上原木颜色的装修，恍惚以为来到了商务咖啡厅。

你以为你是来买车的，但是此情此景会让你误认为自己是来喝咖啡的~言归正传，这种展厅体验店的服务感受，从环境上就十分的温馨舒适，尚简约的空间感，让人瞬间放松很多。时尚吧台、灯光LOGO，明快简洁的休闲区，与服务人员一边讨论着购车咨询，一边在沙发上喝着咖啡。全新升级的Ford Bar社交空间及智慧客厅，让我们再次感觉到是不是来到4S店旁边的咖啡厅了。

除了店面装修外，在服务体验上也是非常长的贴心独特。比如想要了解这款车适不适合你，或者购车前有一些犹豫，完全可以通过全新上线的试乘试驾小程序来轻松完成，只需要在手机上签订电子协议，也不用去下载什么APP，分分钟就能轻松搞定。

并且通过这个小程序还可以了解到在试驾过程中的操作数据，比如刹车、加速、转弯等数据，自动生成一份专属于你的福特EVOS试驾报告，“VIP”感满满。

不过长安福特的硬核品牌升级不止于此，也在于起用“心”服务上。在店面有着各种便捷设备，比如有线及无限充电设备等便捷设施，解决你的电量危机感。细节满满，让人在这里感受到“贴心”。

而长安福特的“正品保障”、“专业保障”和“品质保障”更让人在买车时感受到“放心”。

对于购车的后续服务，依然可以在长安福特会员社区——福域上享受到更进一步的用车体验，在上面可以与车友共同讨论，也可以参与各种积分活动，让车主感受到了“舒心”。

当然，长安福特的用“心”服务理念还不仅如此，还有更多是需要每一个到店的用户来取发现和感受的，这里仅仅是我们对这次体验的看法。

从现磨咖啡到“心”动服务，从新一代智能SUV到智能第三空间打造，长安福特的“待客如亲+爆款智车”的双核驱动，可以说一拳拳打在了现在年轻消费者的心里。

别的不说，至少我来了都感觉想要成为长安福特的“家人们”了。毕竟用心服务和用心好产品，消费者是都能切实的感受到的，真心打一个大大的赞！

最近这几年，汽车行业一直都在开创往智能生活的理念，让汽车生活进入到一个全新的时代。而福特EVOS不仅仅在车上加强能只能体验，更是从4S店“智能第三空间打造”的理念上，就让人感觉到“大人，时代变了”的全新感受。打造爆款智能汽车，加强用户服务体验，这种双硬核升级，让人看到了汽车生活的一个新的开始。