环的理想

设S是环R的一个非空子集，所谓S是R的一个左理想，意即①S是R作为加法群时的一个子群；②当α∈S,x∈R时，若有xα∈S，则S称为R的左理想。若有αx∈S，则S称为R的右理想。如果S既是R的左理想，又是R的右理想，则称S是R的一个理想。例如，{θ}是环R的一个理想。

设l1、l2都是环R的左理想。R中所有的元素α+b（α∈l1,b∈l2）作成R的一个左理想，并称之为l1与l2的和，记为l1+l2。R中所有的有限和作成R的一个左理想，称为R的左理想l1与l2的积，记为l1l2。易知R的左理想的加法适合交换律与结合律；R的左理想的乘法适合结合律且对加法有分配律。对于R的右理想的加法与乘法也有类似结果。由于左理想与右理想的对称性，因此以下关于左理想的讨论，对于右理想也适合。

环R的两个左理想的和的概念可以推广成若干（有限或无限）个左理想li的和li，它是由所有的有限和所构成的。如果这些li均非零，而且在li中每个元素α=αi的表法是唯一的，那么R的这组左理想li（i∈i）称为无关的。环R的两个左理想的积的概念可以推广成任意有限多个左理想l1，L2，…，ln的积l1l2…ln。特别，当这些li都是R的同一个左理想L时，此积简记为ln。设T是环R的一个非空子集。R中有元素α，它能从左边去零化T中每个元素即αT={αt|t∈T}是{θ}，例如R中的零元素θ就是这样一个元素。R中所有这种元素作成R的一个左理想，称为T在R中的左零化子，或R中的一个左零化子。

如果环R的任意一组左理想中恒存在极小的左理想，那么环R称为满足左极小条件，或降链条件。所谓极小左理想，是指一组左理想中的一个左理想，它不能真正的包含组中任何左理想。同理可定义环R的左极大条件（或升链条件）以及环R的左零化子的极小与极大条件。由于环R的左零化子仅仅是R的一类特殊的左理想，所以环R的左零化子的极小与极大条件，分别弱于R的左极小与左极大条件。若环R满足左极大条件，则R中左理想的任何无关组必为有限的。满足左极小条件的环又称为左阿廷环；满足左极大条件的环又称为左诺特环；一个环满足条件：①它的左理想的任何无关组恒为有限的；②它的左零化子满足极大条件，称为左哥尔迪环。由上述可知，左诺特环恒为左哥尔迪环。

设N是环R的一个理想。首先，R作为一个（交换）加法群时，则N就是群R的一个正规子群。N在R中的全部陪集对于陪集的加法（α+N）+（b+N）=（α+b）+N作成一个（交换）加法群。其次，规定（α+N）（b+N）=αb+N，这与陪集的代表元素α、b的取法无关。易知陪集的这种乘法，适合结合律且对加法有分配律。于是就得到一个环，并称之为环R关于其理想N的剩余类环，记为R/N。它与环R有同态关系。所谓同态，是指对于两个环R1、R2，有一个从R1到R2上的映射σ：R1→R2，使对任意α·b∈R1恒有σ（α+b）=σ（α）+σ（b），σ（αb）=σ（α）σ（b）。R2是R1在σ下的同态像，记为：

对任意环R及其任意理想N，只要定义σ（α）=α+N就得到R到R/N上的一个同态映射，特称之为自然同态映射。如果环R1到环R2上的一个同态映射σ，又是一一映射，那么σ称为同构映射，记为：

可以证明，如果σ是环R到环R′上的一个同态映射，那么R中所有满足σ（α）=θ′∈R′的元素构成R的一个理想N，称为σ的核，且有R/N≌R′；如果环R满足左极小（或极大）条件，那么其任意同态像亦然。

设l是环R的一个左理想，如果有正整数n使ln={θ}，那么l称为幂零的。如果对l中每个元素α恒有正整数n（α）使，那么l称为诣零的。显然幂零左理想必为诣零左理想，但反之则未必。对R的右理想也有相应的定义。

如果P是环R的一个理想，则P称为R的一个质理想或素理想。如果环R的零理想{θ}是R的一个质理想，那么R称为一个质（素）环。如果环R除{θ}外不再含其他的幂零理想，那么R称为一个半质（素）环。质环恒为半质环，但反之则未必。