一长为l质量密度为p的链条

链条的质量线密度为ρ=m/L ，平拉力将其悬挂部分缓缓地拉回桌-->意味F是变力，它始终等于悬挂部分链条的重力，即  F=(mg/L)(L/5-x) ，变力功：

W=∫Fdx=(mg/L)(L/5-x)dx     积分并代入积分限(0-->L/5)

W=(mg/L)x^2/2     代入积分限(4L/5-->L)

W=mgL/50

1.、涵义：只有重力或弹力对物体做功的条件下(或者不受其他外力的作用下），物体的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变。这个规律叫做机械能守恒定律。

守恒条件：机械能守恒条件是：只有重力（或弹力）所做的功。【即不考虑空气阻力及因其他摩擦产生热而损失能量,所以机械能守恒也是一种理想化的物理模型】,而且是系统机械能守恒。

从功能关系式中的 W除G外=△E机 可知：更广义的讲机械能守恒条件应是除了重力之外的力所做的功为零。

二、【例】机械能守恒定律

1、如图 5－3－21 所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止下滑，在物体下滑过程 中，下列说法正确的是( ) A．物体的重力势能减少，动能增加，机械能守恒 B．斜面的机械能不变 C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功 D．物体和斜面组成的系统机械能守恒

解析：物体下滑过程中，由于物体与斜面相互间有垂直于斜面的作用力，使斜面加速运动，斜面的动 能增加；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂 直，且夹角大于 90°，所以物体克服相互作用力做功，物体的机械能减少， 但动能增加，重力势能减少， 故 A 项正确，B、C 项错误．对物体与斜面组成的系统内，只有动能和重力势能之间的转化，故系统 机械能守恒，D 项正确． 答案： D

2、.如图 5－3－19 所示为某同学设计的节能运输系统． 斜面轨道的倾角为 37°， 木箱与轨道之间的动摩擦因 数 ?＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量 m＝2 kg 的货物装入木箱，木箱载着 货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动装货装置立刻将货物御下，然后木箱恰好被 弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．若 g 取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小； (2)满足设计要求的木箱质量． 图 5－3－19 － － 解析： 设木箱质量为 ′ 对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有： 解析：(1)设木箱质量为 m′，对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有： m′gsin 37°＋?m′gcos 37°＝m′a ′ ＋ ′ ＝ ′ 代入数据解得： ＝ 代入数据解得：a＝8 m/s2. (2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为 L，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为 Ep，根据能量守恒定律：货 根据能量守恒定律： 设木箱沿轨道下滑的最大距离为 ， 物和木箱下滑过程中有： ′ 物和木箱下滑过程中有：(m′＋m)gsin 37°L＝?(m′＋m)gcos 37°L＋Ep ＝ ′ ＋ 木箱上滑过程中有 Ep＝m′gsin 37°L＋?m′gcos 37°L ′ ＋ ′ 联立代入数据解得： ′ 联立代入数据解得：m′＝m＝2 kg. ＝ 答案： 答案：(1)8 m/s2 (2)2 kg 所示，松手后链

3、长为 L 的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的 1/4 垂在桌边，如图 条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？ 解析：链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功。整根链条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律 求解。设整根链条质量为 m，则单位长度质量（质量线密度）为 m／L 设桌面重力势能为零，由机械能守恒定律得 ? L m L 1 L ? g ? = mv 2 ? mg 4 L 8 2 2 v= 解得 15 gL 16

就你的方程来看，是重力势能的改变全部转化为动能，这其实是不对的

因为还在桌面上的链条对下落中的链条有力的作用，所以下落中这段链条并不是只受重力作用，故在下落过程中机械能并不守恒。

可以这样理解：考虑马上要下落但并未开始下落的这一极小段链条，它在这一时刻处于静止，而下一时刻受到下方链条的牵引而开始下落，而它一开始下落就具备了与下方链条一样的速度。这一过程与完全非弹性碰撞的过程是相似的。而完全非弹性碰撞过程是有能量损失的。

故而机械能之所以不守恒，就是因为在这一过程中，有机械能转化为了内能。

还有，带着镣铐来跳舞同学，你的方程和楼主的方程其实没有任何区别。

设某一时刻右侧链条的长度为y，单位长度的链条质量（即线密度）为ρ=m/l，则：

ρyg-ρ(l-y)g=ma

解得：a=[ρyg-ρ(l-y)g]/m=(g/l)(2y-l) 当y=2l/3时，a=g/3

全过程机械能守恒，则：

mv²/2=ρygy/2+ρ(l-y)g(l-y)/2-ρLgL/2-ρ(l-L)g(l-L)/2

=ρgy²/2+ρg(l-y)²/2-ρgL²/2-ρg(l-L)²/2

v²=[y²+(l-y)²-L²-(l-L)²]g/l

当y=2l/3时，代入上式，得到图中答案。

设dt内链条下落ds，以ds为研究对象，其质量dm=λds,设dm接触桌面时速度为v，则v=ds/dt=(2gs)^(1/2)

由动量定理(dmg-T')dt=dp=0-vdm=-λds（2gs)^(1/2) (等式左边dmg远小于T'故忽略dmg）

得T'=2λgs，T'为T的反作用力，所以T=2λgs （在计算T'时注意v=ds/dt)

从而N=3λgs

2) 由于人造重力即人在环内的惯性离心力，所以有mw^2r=mg

所以w=sqrt(g/r)

此人造重力的方向为沿着环的转动半径向外。