大学物理：如何用微积分求竖直链条的重力势能，列出式子

选择D

（1）因为有一半放在水平桌面（即零势能面）上，所以水平部分重力势能为零

（2）只有在竖直方向上的部分具体重力势能，

而在在竖直方向上的部分只有整个细链条的一半，它的重心又在距链条下端的细链条四分之一处，即重心距下端的高度和h=L/4

而竖直部分在零势能面下方

所以重力势能Ep=-mg/2*L/4=-mgL/8

原来垂直于桌面那部分的链条重力势能减少（0.5m）*g*（0.5L）

设最后链条离开桌面的速度为v ，那么链条动能增加了0.5mV^2 。

由于链条只受到保守力，其机械能是守恒的。所以：重力势能减少量=动能增加量，即

（0.5m）*g*（0.25L） +（0.5m）*g*（0.5L）=0.5mV^2 。这样就可以得出V的值了。

因为是链条，要考虑冲击力

竖直的部分长为S，假设经过极短的时间t,则被新拉起的链条长为vt

根据动量定理，设对这一小段的拉力为F，则(F-M/L*vtg)t=M/L*vt*v

因为t很小，忽略括号中的第二项得F=M/L*v2

所以总拉力：M/L*Sg+F

假设桌面离地面的距离为H

则开始时链条的重力势能为

Ep=2/3 mg*H+1/3mg*（H-1/6L）=mgH-1/18 mgL

链条刚要离开桌面时，链条重力势能为

Ep‘=mg*（H-1/2L）=mgH-1/2 mgL

由机械能守恒

Ek+Ep’=Ep

解得

Ek=4/9 mgL

Ek=1/2 mv²

解得v=2√2 gL/3

设整个链条总质量是M，取桌面处为零势能面

初态：水平部分质量是（L－a）M / L　，重心在这部分的中间，这部分的重力势能为0；竖直部分的质量是（a*M / L），重心在这部分的中间，该部分的重力势能是　Ep1＝－（a*M / L）g*( a / 2)

即在初态，整个链条的重力势能是　0＋Ep1＝－（a*M / L）g*( a / 2)

末态：整个链条刚离开桌面（呈竖直），这时重心在这链条的中间，它的重力势能是Ep2＝－Mg*(L / 2)

设所求的速度是 V　，由机械能守恒　得

－（a*M / L）g*( a / 2)＝－Mg*(L / 2)＋（M* V^2 / 2）

得　V＝根号[ g ( L^2－a^2) / L ]

注：1、由题意知，整个链条刚离开桌面时，还没落到地。

2、当链条有弯折时，可将它看成由几段直的部分组成，各部分的重力势能之和等于整个链条的重力势能。