因果链条会一直继续像直线呢

链条魔术扣可以这样拆：

步骤一、把车子固定好，向后旋转曲柄，使链条走到图中所示的方位，悬空可操作的魔术扣部位。对于部分后拨，带有导臂锁的型号，使用锁死机制，释放了链条的张力更佳；某些山地后拨增加导臂阻尼的开关，也要先关掉才能拆链条。

当然，针对常规的后拨，无法释放也没问题，我们有链条挂钩。

步骤二、先用链条挂钩将魔术扣左侧约5-6节链条勾好，再以虎钳夹魔术扣借力，将挂钩往前拉，同样勾住魔术扣右侧约5-6节的另一端。这时要拆卸的魔术扣部位，轻松地单独分隔出来了。

步骤三、用虎钳头部的齿牙，卡住魔术扣的两个端点，用力钳紧扳手即可拆卸。如果不明白原理的话，可以参考上面原理图，红色是魔术扣，蓝色是虎钳内侧。

步骤四、其实虎钳拆魔术扣，不过是运用了不同的工具，同样地令两片卡扣从外往内发力，去顶开卡榫，原理跟魔术扣拆卸钳是一样的。卡榫松脱，链条就拆下来了。

链条魔术扣：

自行车链条魔术扣可以起到快速链接和拆卸链条的作用。另外魔术扣也是一个链节，如果换链条或飞轮时魔术扣也要随链条更换，不然会出现磨损不一致的问题，比如齿感增加，但一般不至于跳齿，使用一段时间后大都能消除。

简单的说就是针对特定算法，尤其是不对称算法进行有效破解的一种方法（如 md5算法）。他的过程 就是建立一个 源数据与加密数据之间对应的hash表。这样在获得加密数据后 通过比较，查询或者一定的运算，可以快速定位源数据。理论上，如果不考虑查询所需要的时间的话，hash 表越大，破解也就越有效越迅速。当然对于其它破解方法（如碰撞）此方法比较笨拙，对于可变长密钥等现代高级算法，效果会大打折扣。但是无论怎样， 彩虹表（hash）永远是在数据加解密中是无奈但十分有效的方法 。

假设我们有一个密码散列函数H和口令P.传统的做法是把H(X)的所有输出穷举,把H(P)=H(x[y]),得出P==X[y]

而散列链是为了降低传统做法空间要求的技术,我们的想法是定义一个衰减函数 R的散列值映射成以“P”的值通过交替运算H和R函数获取哈希函数，形成交替的密码和哈希值.

例如:假设P是字母6个字符的密码和散列值的集合32位长链看起来可能是这样的:

aaaaaa -H()->281DAF40 -R()->sgfnyd -H()->9203CF10 --R()-->kiebgt.

要生成的表中，我们选择一组随机的初始密码，从P，计算每一个链的一些固定长度的K表，并存储在每一个链的第一个和最后一个密码。第一口令被称为起点和最后一个被称为端点。在上面的例子链，“AAAAAA”将以此为起点，“kiebgt”将是终点，并没有其他密码（或哈希值）将被存储。

假如给定一个密文h ，我们要反运算（找到对应的密码），计算一个链，通过将R后H，后R 后h ，并依此类推。如果在该运算过程中的任何点，我们发现该点的值的匹配之前的哈希链的其中一个端点，那么我们就得到了相应的起始点，我们所寻求的密码p。

例如，如果我们给出的哈希920ECF10，我们将计算其首次申请ŕ链：发现到:

90E1CF10---R()-->kiebgt

由于kiebgt是我们的端点之一,我们将采另外的点作为新端点,就是找到aaaaaa.

aaaaa--H-->281DAF40---R-->sgfnyd--H-->920EC10

因此，密码是“sgfnyd”。

但是,假如FB107E70是不是在链中,但同样的端点AAAAAA,那么我们则需要跟另外的一条哈希链接继续这场破译比赛.

有几个简单的散列链的缺陷。如果在任何时候两条链相互碰撞（产生相同的值），它们将合并，因此该表将不会覆盖尽可能多的密码，尽管支付相同的计算成本产生最严重的。没有存储在它们的全部，由于以前的链，这是不可能有效地检测。例如，如果链条3的第三个值链7中的第二个值相匹配，两个链将覆盖几乎相同的值序列，但它们的最终值将是不一样的。散列函数H是不太可能产生冲突，因为它通常被认为是一个重要的安全功能，不这样做，但减少功能R，因为它需要正确地覆盖可能的明文，不能抗碰撞。

其他的困难的重要性，选择正确的功能R.采摘R的身份是一点不比蛮力的方法。只有当攻击者有可能的明文将是他可以选择的函数R，使得确保只有时间和空间是用于可能的明文，而不是整个空间的可能的密码是个好主意。在影响R牧羊人前哈希计算的结果可能明文，但这样做的好处与缺点的R可能不会产生类中的每一个可能的明文攻击者希望检查否定肯定的，没有密码的攻击者来自他的选择类。此外，它可以是难以设计的函数R明文，以便匹配期望的分布。

彩虹表的碰撞与普通的哈希链有效地解决问题，通过更换单减函数R序列相关的减函数R 1到R K表。通过这种方式，为了使两个链碰撞和合并，他们必须打相同的值上的相同的迭代。因此，在每个链的最终值将是相同的。最后一个后处理阶段可以排序表中的链中删除任何“重复”链其他链具有相同的最终值的。产生新的链，然后填写表。这些链是不无碰撞（他们可能会重叠是暂时的），但他们不会合并，大大减少了总人数的碰撞。

如何查找，使用序列的还原功能的变化，因为哈希值的兴趣可能会发现在链中的任何位置，这是需要产生K表不同的链。第一链假设的哈希值是在过去的哈希位置，并只适用于R K表 链承担的哈希值是在第二到最后的哈希位置，并适用于R ķ -1，H，则RK表 依此类推，直到最后一个链，它适用于所有的还原功能，交流与H.生产虚惊一场，这将创建一个新的途径：如果我们“猜”的哈希值错误的位置，我们可能会不必要地评价一个链。

虽然彩虹表有遵循更多的链，他们做了，这有更少的表：简单的散列链表不能增长而迅速成为低效率的由于合并连锁店，超过一定规模，来处理这个，他们保持多个表，和每个查找必须通过每个表搜索。彩虹表可以达到同样的性能，使他们能够执行的一个因素ķ较少的查找表，ķ倍。

奔驰276发动机是最新的缸内直喷发动机,带有均匀燃烧和分层燃烧...关于正时,在曲轴上以t0点贴一张11厘米长的纸条,那个纸条的端点就是正是点..内部是四根正时链条,分轴都有正时标记很好看的,276取消了平衡轴,,其实主要是曲轴点不好对,只要找到就可以了..

居民消费价格指数（简称CPI）是反映居民购买并用于消费的商品和服务项目价格水平的变动趋势和变动幅度的相对数。该指标既包括城乡居民日常生活需要的各类消费品价格，也包括多种与人民生活密切相关的服务项目价格，如水、电、交通、教育、医疗等费用，可以全面反映多种市场价格变动因素及其对居民实际生活的影响程度。 该价格指数为分析和制定货币政策、价格政策、居民消费政策、社会保障政策、工资政策以及进行国民经济核算提供科学依据，也是四大宏观调控指标之一。国际上通常将居民消费价格指数作为反映通货膨胀（或通货紧缩）程度的重要指标。因此，CPI已成为社会关注的焦点。由于人们对CPI的统计方法和制度认识不一样，有时也引起过一些争论和分歧。 一、CPI衡量的是一个国家或地区居民消费价格情况的总体趋势，往往与人们实际感受不一致。 有人说，我国政府公布CPI数据，往往与人们对物价的实际感受很不一样，这究竟是怎么回事？事实上，首先，CPI是一个总量指标，它反映的是全国居民消费品和居民服务项目的价格总水平，与各个地区甚至每个居民的感受可能不一样；其次，CPI是度量一组有代表性的消费品和服务项目的价格变化情况，我国居民消费价格的调查内容分为食品、烟酒及用品、衣着、家庭设备用品及服务、医疗保健及个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住等八大类。根据我国城乡居民消费结构、消费习惯，并参照抽样调查原理选中的近12万户城乡居民家庭的消费支出数据，并结合其它相关资料，选取了251个基本分类、约700个规格品种，作为经常性调查项目。但是这些住户和调查项目无论怎么有代表性，也不可能是每个人消费的全部真实反映，也就是说，每个人的消费商品和服务的品种和权重不可能与国家统计局统计调查的商品和服务的品种和权重一致，如农村居民食品消费占比大一些，城市居民娱乐教育文化用品及服务和居住类项目消费占比大一些，因此，个人对价格的感受与CPI指数肯定有一定差异；第三，每个人的收入水平不一样，对物价的承受能力也不一样，这也造成了居民对价格的变化感受不一样。一样的东西，有人觉得贵，也有人觉得很便宜。因此，CPI是衡量一个国家或地区居民消费价格情况，是一种总体趋势。 二、为便于指标的可比性，当前我国统计制度没有将商品房价格列于CPI范围，这是合理的。 当前，对CPI争议最大的恐怕就是商品房价格是否应统计在CPI之内。从统计制度上来说，由于商品房购买在统计分组上归于投资范畴，不包含在居民消费价格指数的调查范围内，但反映居住价格变动的房租、建筑材料、房屋贷款利率和物业费等则包括在内。不少专家对这种分组持有疑义，由于近年来商品房价格上涨较快，从工资房价比看，超出了普通工薪阶层的承受能力，对居民生活和消费形成了较大压力，但这种商品房价格又没有统计在CPI之中，因此，不少人认为低估了CPI的上涨幅度。众所周知，商品房是一种一次投资，多年消费的商品，从国际上看，商品房一般也不包含在居民消费价格指数的调查范围内，为便于指标的可比性，当前我国统计制度也没有商品房价格列于CPI范围，这是合理的。投资房产与投资股票一样，我们不能把股价波动也统计在CPI之内吧？当然，我们也要承认，我国的情况与国外还是有很大差异的，我国过去长期把住房归于职工福利范畴，扭曲了住房价格，后来主张“居者有其屋”，千方百计让每个人都拥有住房，无论是城市还是农村，拥有一套住房都是居民终生奋斗的目标，不少人少吃省用一辈子，就是为了获得一套住房，这导致了商品房买卖市场很发达，而商品房租赁市场不景气。另外，由于户籍等多种原因，我国人口流动性还是不大，也影响了房屋租赁市场的发展。所以，在我国，房屋租赁和房屋买卖对居民居住类商品消费的影响应进行更深入的研究。还有人认为，购买商品房究竟是消费还是投资，主要看购买商品房的用途，是消费就是消费，是投资就是投资，如何解决这一问题，确实需要认真研究。 如何理解PPI（生产价格指数）与CPI（居民消费价格指数）的关系，当前也有不同的看法。近年来，PPI上涨一直居高不下，而CPI是启而不动，始终在低位徘徊，出现了令人费解的现象，从理论上说，生产和消费是经济运行链条上的两个端点，产生价格指数主要反映生产领域的价格变动情况，即源头和中间商品的价格变动情况，处于价格传导体系的中上游；居民消费价格指数主要反映消费领域的价格变动情况，即最终消费品和服务的价格变动情况，处于价格传导体系的下游和终端。上游商品价格的持续上涨将会逐渐传导到下游商品的价格变动。根据过去20年的经验数据分析，这种传导的时滞大约在一年半左右。但从现实情况看，这种价格传导远没有我们想像中那么直接和直观。某些上游商品价格上涨能否传导到下游，主要取决于该类商品的供求状况、供求弹性和产业链条的长短。近年来上、下游商品间的价格传导关系出现了一些新变化，表现为传导时滞延长，传导效应减弱，有的甚至出现了传导“梗阻”等。另外，随着对外贸易的不断扩大，经济一体化和市场一体化趋势在加强，在价格传导过程中，也可能出现“溢出效应”，即企业通过薄利多销，扩大出口等方式消化掉了。如近两年，钢铁价格猛涨，但以钢铁为主要原料的汽车、家电价格不涨反跌，这说明，在目前的买方市场中，决定价格不是成本而是供需。 三、GDP缩减指数代替CPI存在局限性，其范围过于广泛，时效性和敏感性差。 由于CPI的变化似乎与人们的期望值还有一定差距，有人建议用GDP缩减指数来取代CPI作为衡量通货膨胀的指数。GDP缩减指数是衡量一国在不同时期内所生产的最终产品和劳务的价格总水平变化程度的经济指数，是用按报告期价格计算的国内生产总值与按不变价格计算的国内生产总值进行对比计算出来的。由于该指数所包括的商品和服务的范围最为广泛，不仅包括全部物质产品和涵盖计入GDP的全部服务产品，也包括进出口商品，理论上是最全面反映价格总水平变化的指标。目前GDP缩减指数明显高于CPI，似乎更接近人们的真实感受，因此，有人提议应把GDP缩减指数取代CPI作为衡量通货膨胀的主要指标，但事实上，GDP缩减指数也存在一些不足：如它范围过于广泛，它包含有投资和出口商品的价格，而这些商品与消费者是不直接相关的，还包括了那些不在市场上发生交易的商品和劳务的估算，主要是对政府的劳务。另外，编制这一指数需要收集大量资料，实际GDP是用各行业的价格指数推算的，只能近似反映各行业价格水平变动的价格总指数，一年公布一次，时效性和敏感性差。而居民消费价格指数的调查内容涵盖了居民日常消费的消费品和服务项目，可以全面反映多种市场因素变动影响到居民消费价格波动及其对居民实际生活费用支出的影响程度。用居民消费价格指数的变动程度来反映通货膨胀程度已成为国际上通用的一般规则，具有较好的国际可比性。 四、CPI分析预测中“翘尾因素”不可忽视。 在CPI的分析预测中，“翘尾因素”也是一个不可忽视的问题。通常情况下，人们用以上年同期价格为对比基期的同比价格指数反映价格总水平的变动程度。这个同比指数并不是全部反映实际涨价幅度，它包含着“翘尾因素”和“新涨价因素”两部分。所谓“翘尾因素”是指上年价格上涨对本年的滞后影响程度。如果上年价格呈前低后高走势，那么“翘尾因素”就为正影响，反之则为负影响。如2003年我国居民消费价格呈前低后高走势，其对2004年的“翘尾”影响高达2.2个百分点，占全年居民消费价格总涨幅的56.4%。而2004年的价格呈两头低中间高的走势，其对2005年的“翘尾”影响仅为0.8个百分点。因此，在2005年价格总水平中，“新涨价因素”将起决定性作用，这也是我们分析预测价格走势时应考虑的一个重要因素。 CPI已成为我们宏观政策制定的重要依据之一，但是CPI又是一个经常变化的指标，CPI的变化性与政策的稳定性有一定矛盾，CPI变化多少政策才需要调整？这需要深入研究，以下附表是国外的一些经验数据。 从附表可以看出，对于长期的通货膨胀目标，发达国家一般在1%-3%，但新兴市场经济国家一般稍高于此。这取决于本国经济结构及其发展程度，以及国家对宏观经济的调控能力。我国目标区间是多少，国家没有公布。有专家认为是1-5%。前不久，2004年诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家普雷斯科特在北京大学作了一场关于经济周期的演讲，他特别申明他的理论对中国暂时还不适应，说明中国的情况可能要复杂得多。我国的通货膨胀目标区间还需要专家学者进一步研究

不，CPI反应的是价格水平的变化百分比，它不反应价格水平本身。

比如说新闻上说这个月的CPI是5%，意味着这个月的物价水平相较去年同期而言上涨了5%。

CPI和价格水平的关系类似于人口增长率和人口的关系。前者反应变化程度，后者反应固有水平。

滑轮与结点区别：

滑轮是一个周边有槽，能够绕轴转动的小轮，由可绕中心轴转动有沟槽的圆盘和跨过圆盘的柔索（绳、胶带、钢索、链条等）所组成的可以绕着中心轴旋转的简单机械叫做滑轮。

作用

牵拉负载、改变施力方向、传输功率等。

连接方法

吊钩式、链环式、轮材式、吊环式和吊链式，斜拉式等。

结点是电路（网络）中一个支路的端点，或两个或两个以上支路的会合点。包括一个数据元素及若干个指向其它子树的分支；例如，A，B，C，D等。在数据结构的图形表示中，表示树中的元素，包括数据项和若干指向其他子树的分支。

另外，数据结构中的每一个数据结点对应于一个储存单元，这种储存单元称为储存结点，也可简称结点。

主要看哪个是驱动源

例如自行车就是后轮驱动

所以后轮摩擦力是使车往前走的

而前轮没有驱动力 所以摩擦力是使车往后走的

汽车一样

加速度就是外力的合理

对于自行车就是后轮摩擦力减去前轮摩擦力的F =ma

皮带类似

1.信息安全现状概述

进入二十世纪九十年代以来，社*会信息化正成为世界的潮流。信息产业也开始由先导产业转变为主导产业。围绕信息的获取、使用和控制的斗争愈演愈烈，信息安全成为了维护国家安全和社*会稳定的一个焦点。随着美国正式开始实施“信息战”战略，网络安全已提升到维护国家主权、保护国家安全的高度。信息安全保障体系研究和信息安全支撑软件及平台研究已经列为国家“863”重点项目、应急项目。

据国际权威机构CSI/FBI提供的统计数据，在众多的攻击行为和事件中，最主要的、最多的安全事件是信息泄漏事件；攻击者主要来自企业内部，而不是来自外部的黑客等攻击者；安全事件造成的经济损失最大的，也是最主要的是内部人员有意或无意的信息泄漏事件造成的经济损失。

黑客攻击明显地被新闻媒体关注、炒作、宣传得过于玄乎，而信息泄漏事件往往不被人们所关注，没有引起企业主管领导、技术人员足够的重视和关注；针对外部黑客攻击的防范措施、解决方案、技术和产品较多较成熟，而针对内部员工的失泄密行为，目前还没有成熟的、全面的解决方案。对于来自内部信息泄密的安全问题，一直是整个信息安全保障体系的难点和弱点所在。

2.1网络泄密

信息的网络化，极大地增加了联网计算机信息泄密的风险和防范难度，窃密者利用系统的漏洞，只要在网络中任意信道、节点、端点进行截取，就可以获得网络输送的信息。如果不注意操作口令保护和及时更换，入网权限不严密，信息传输不进行加密处理，局域网和互联网没有做到完全的物理隔离等都有可能遭到网络攻击，导致严重的信息泄密事件发生。

2.2电磁波辐射泄密。

计算机设备工作时辐射出的电磁波，可以借助仪器设备在一定范围内收到，尤其是利用高灵敏度的装置可以清晰地看到计算机正在处理的信息。计算机辐射主要有四个部分：显示器的辐射、通信线路（联接线）的辐射、主机的辐射、输出设备（打印机）的辐射。

2.3存储介质泄密

U盘、移动硬盘、光盘、MP3/4、相机、手机存储卡，等移动存储介质，如果随意接入内网计算机，极易带入木马等而已代码；载有涉密信息的移动存储介质，如未实施有效加密处理，丢失后直接导致泄密。删除存储介质中的文件，删掉的仅仅是文件名，原文还原封不动地保存在存储介质中，一旦被利用，就会造成泄密。

2.4工作人员违规操作泄密

一是计算机操作人员无意识行为泄密，二是规章制度不健全或者违反规章制度泄密，三是利用职务之便有意泄密。

3.信息泄密的主体分析

信息泄密的途径很多，层层设堵并不容易，而且随着时间推移，新技术发展，泄密方式层出不穷。要有效防范计算机信息泄密，不能一味地防外，更要防内。从泄密主体进行分析，对泄密主体进行管理和控制。从信息泄密的主体看，信息泄密分外部入侵和内部泄密两种。

3.1外部入侵泄密

外部入侵又分外部网络入侵和外部实体入侵。外部网络入侵是指对方利用系统漏洞或安全防护薄弱环节，通过一定的计算机技术手段进入内部网络，拦截网络传输信息、攻击计算机或窃取计算机上存储的机密信息。外部网络入侵窃密途径有病毒感染、黑客入侵、木马窃密、传输拦截等；外部实体入侵是指外部人员通过各种方式接近或进入信息安全防护实体，直接对保护实体进行盗窃，非法获取载有涉密信息的计算机、光盘、硬盘、U盘、移动硬盘、纸质文件等，或者使用移动存储介质进行非法拷贝，对加密文件进行解密XX、利用存储介质剩磁进行数据还原等。

3.2内部人员泄密

内部信息泄密是指单位内部的工作人员，在工作过程中无意识地泄露单位机密，或者利用职务之便有意地窃取单位机密。内部信息泄密分有意泄密和无意泄密，无意泄密如存储介质遗失或失窃，在上网、拷贝、存储、共享、刻录、打印等活动中因缺乏保护意识在无意中泄密；有意泄密如非法外联、非法内联、非法拷贝、非法共享、非法打印、上网外发、邮件外发、聊天外发等诸多方面。

防信息泄密是一个有机的整体，是一个环环相扣的链条，缺少其中任何一个环节，其安全性能就大幅度降低或者几乎为零。因此信息安全需要采取综合性技术手段，既要防外又要防内，其重点和难点在于防内部信息泄密。

二章 质点组力学

本章研究质点组的动力学规律。重点掌握:

（1)质心的概念和计算

（2)质点组的三个基本定理（动量定理、动量矩定理、动能定理）在基本系和质心坐标系中的数学表示。

（3)质心坐标系的重要性和特殊性。

§2.1 质点组

本节重点是掌握内力的性质、质心的概念和计算。

一、 质点组的内力和外力

彼此有相互作用的许多质点的集合叫质点组。（一群毫无相联系的蚊蝇以及一盘散沙，都不是质点组）

1、 内力和外力：内力记为 ，外力记为 。

2、 内力的基本性质；

利用牛顿第三定律可得到：质点组中各内力的矢量和恒为零。

（1）

二、 质心

1、质心的概念

质心是质点组中的一个特殊的几何点，当把质点组的各质点的质量总和（即 )放在该点时，它的状态可以代表质点组的总体特征，该点通常记为C。

2、 质心位置的确定

①质点组情况如图2.1.1，

O为原点，C为质心，它的位置矢量 。第i个质点质量 ，位矢 ，这里i=1,2,…,n.

由 确定的 的端点c即为质心。

②质量连续分布的物体

设质量密度为ρ（x，y，z），则质心位置 由如下公式决定：

，

③若干块物体构成的物体体系

如图2.1.2,选取原点o，设物体1质量 ，质心位矢 ……物体j的质量 ，质心位矢 ，则这些物体构成的物体系的质心C的位矢为：

§2.2 质点组动量定理与守恒律

本节要求是掌握质心运动定理，它是刚体力学的基础之一。

一、 质点组动量定理

由牛顿第二定律，每个质点的运动方程为

对n个质点求和，利用质点组内的力和为零的性质，得到

（外力的矢量和）

即质点组的动量 的变化率等于质点组所受外力的矢量和。

二、 质心运动定理

由质心的定义： ，对时间两次求导数，利用内力的矢量和为零，可得

（外力矢量和）

该式称为质心运动定理，表明：质点组质心的运动如同一个质点的运动一样，它的质量等于整个质点组的质量，作用于它的力等于质点组外力矢量和。

该式表明了质心的重要性和特殊性：

（1）质心是一个特殊的几何点，但它的运动状态可以代表质点组的整体特征（2）内力不影响质心的运动状态，但能影响个别质点的状态（3）给定外力，各质点运动状态尽管不知道,但质心的运动状态可以完全确定，质心的运动状态只取决外力。

三、 质点组动量守恒律

若质点组受的外力矢量和为零，则质点组动量P=恒量。

利用 ，对时间求导数可得：

质点组动量守恒定律表明：若 ，则P=Pc=恒量，即质心作匀速直线运动（ 恒量），内力不会引起质心运动状态的改变。

§2.3 质点组动量矩定理与动量矩守恒律

本节的要求是掌握质点组动量矩定理，特别是掌握对质心的动量矩定理。

一、 质点组对定点O的动量矩定理及守恒律

由牛顿第二定律，第i个质点的动力学方程为

（1）

两边用 左乘、再对各质点求和，利用内力总成对出现且等大、反向并

作用在同一直线上这一性质,得到

或 （2）

（2）式表明；质点组对定点的动量矩的时间变化率等于受到的外力矩。

若 ，则动量矩 =恒量（3）

二、 对质心的质点组动量矩定理

1、 质心坐标系

设oxyz为静止系，若另一坐标系cx'y'z'随质点组运动而运动，原点取在质点组的质心，坐标轴与基本系oxyz的坐标轴平行，则cx'y'z'叫质心坐标系（见图2.3.1）.

质心坐标系的特点是：在质心系中，质心的位置矢量

2、对质心系的动量矩定理

对质心系的质点组动量矩 ；对质心的力矩为 .

利用内力的性质得到内力矩为零，再利用质心的性质 ，可以得到对质心的力矩 （外力力矩）。由牛顿第二定律出发，可得

（4）

该式表明：对质心的动量矩 的对时间的变化率等于作用于质点组的外力对质心的力矩（该式称为对质心的动量矩定理）。

（4）式还表明了质心系的特殊性：（2)式由是牛顿第二定律所得，它只对惯性系才适用。质心系一般情况而言并不是惯性系，但是，质心系中的质点组动量矩定理仍保持与惯性系中相同的形式。

（4）式还表明：惯性力、内力对质心的力矩恒为零。

§2.4 质点组动能定理与机械能守恒律

本节应重点掌握质点组的动能定理，对质心的动能定理以及计算质点组动能的柯尼希定理。

一、 质点组动能定理和机械能守恒律

在静止系中，对每一质点的动能定理

求和后得到

即质点组动能的变化等于质点组受的外力和内力作功之和（动能定理）。

应注意：内力作功并不一定为零，如图：

质点1、2的位置矢量为 、 。质点1受质点2的作用力为 ，质点2受质点1的作用力为 ，由牛顿第三定律有： 。这两个力作功为

显然：只有当运动时两质点间距离保持不变（如刚体），内力作功才为零。一般情况内力作功不为零。

特例：若外力、内力都是保守力，则质点组的机械能守恒。

二、 对质心的动能定理

利用质心的性质和质心系中的牛顿定律（引入了惯性力 ）,有

两边点乘 ，得到

该结果表明：质点组对质心系的动能的变化等于外力和内力对质心系作

功之和。该结论称为质点组对质心的动能定理。

从这里可以看出：

惯性力对质点组作的功为零利用质心系中的动能定理，可以克服惯性力作功是否为零的困难。这又一次体现质心系的特殊性：质心系并不是惯性系，但在质心系中的质点组动能定理仍保持惯性系中具有相同的形式，而其他坐标系无此性质。

三、 柯尼希定理

该定理提供了计算质点组动能的方法，刚体动力学中经常用到.利用质心的性质和静止系与质心系的相互关系 ，可得

即质点组的动能等于质心的动能与各质点对质心的动能的和（该结果称为柯尼希定理）。

四、 内力和惯性力性质的简单归纳

1、 内力的性质

（1）、质点组的内力的矢量和为零：

（2）、内力对某定点的力矩和为零；

（3）、内力不影响质心的运动状态。

（4）、内点作功不为零（刚体除外）。内力会影响各质点的运动状态。

2、惯性力

惯性力对质心的力矩为零，在质心系中惯性力对质点组作功为零。

§2.5 两体问题

本节应重点掌握两体问题的处理方法。

研究两体问题的重要性在于：许多问题，如氢原子中的电子绕原子核的运动；地球绕太阳的运动；卫星绕地球的运动等。对这类两体运动问题，将核、太阳、地球视为静止，则所得的结果必有误差。为了更准确研究，就应采用本节提出的两体问题的处理方法，下面以太阳和行星为例说明。

一、 两体运动的方程

1、 惯性系中:以S代表太阳、P代表行星,它们的位置矢量分别为 ， （如图2.5.1） 。质量分别为M、m。则动力学方程为

（太阳，对惯性系）

（行星，对惯性系）

令 为质心的位矢，可由以上两式相加，可得到质心满足的方程为

该式表明：质心是作匀速直线运动，而太阳、行星是绕质心的圆锥曲线运动。

2、 质心系中:设太阳和行星的位置矢量分别是 ， 。则

即太阳、行星均绕质心作圆锥曲线运动

3、行星对太阳的相对运动

考虑到太阳也在运动后，令 为行星相对于太阳的位置矢量，可得行星的相对运动方程为（这里 为单位矢量）

令u=Mm/(M+m),或 ，u称为折合质量，显然，u小于M和m中的较大值。该式表明：考虑太阳也在运动后，行星仍对太阳作圆锥曲线运动(但

质量不为m而是折合质量u.)

应指出：若M>>m，由上式引起的误差极小，仍可以将太阳视为静止处理。如果上式不成立，两质量差别不太大，则必须采用两体问题处理。

§2.6 质心坐标系与实验室坐标系

本节应掌握质心坐标系与实验室坐标系的概念以及两粒子弹性散射（碰撞）时散射角在质心系和实验坐标系中的相互关系。

一、实验室坐标系与质心坐标系

实验工作者采用的坐标系叫实验室坐标系。最多的是取地球作为静止系（惯性系）。原点取在质心，而坐标轴与实验坐标系的坐标轴平行的坐标系叫质心系。

二、 两种坐标系中弹性散射的不同结果

1、两种坐标系中看到的弹性散射现象（见书p134图2.6.2）

2、 两坐标系中散射角的相互关系

设两质点的质量为 ，散射角在实验室坐标系中为θr，在质心系中为θc，可由相对运动速度的合成关系（见图2）

将它投影在水平方向与垂直方向, 可求得

为了消去 并用质点的质量表示，可利用质心的定义并以r表示质点2相对质点1的位置矢量，由

,

可得到用散射角θr用质点质量 表示的形式

特例：

（1）重核散射（如α粒子散射）时： ，有

（2）等质量粒子散射（如质子—中子散射）时， ，有

§2.7 变质量物体的运动

本节应重点掌握变质量物体运动的运动方程和应用变质量物体运动方程求解具体问题的一般步骤。

一、 变质量问题的重要性

这里的变质量问题不是指高速运动因相对论效应引起的变质量，而是指物质的增减引起的变质量。实际问题中大量存在变质量问题：雨滴下落因蒸发或凝聚发生质量变化；滚雪球；火箭飞行等。

二、 变质量物体的运动方程

如图2.7.1，一物体的质量m，t时刻速度为 ，同时，一微小质量Δm之物体以速度 运动，并在t+Δt时刻与m合并，合并后的共同速度为 ，作用在Δm和m的合外力为F，则由动量定理并注意到Δm和 都很小，可略去 ，得到

（1）

u代表微量Δm与m合并前或自m分出时一瞬间的速度。

公式（1）的适用条件：v很小，Δm很小。

方程（1）有两方面的应用：已知合外力 ，求物体的运动规律；已知变质量物质的运动规律，求作用于系统上的外力。 三、 求解变质量物体运动问题的一般步骤。

一般步骤：弄清研究对象和 、 ；选取适当的坐标系，分析作用于体系的合外力；写出方程的矢量形式和坐标分量形式；求解方程，讨论结果.

[例1]长L的均匀细链条伸直平放水平光滑桌面上，方向与桌面边缘垂直（图2.7.2）。开始时链条静止，一半从桌上下垂，求链条末端滑到桌子边缘时链条的速度v。

解：如图选取坐标系，以下垂段为研究对象。

方法一：用变质量物体的运动方程求解

以长为x的 一段和Δx的一段分别作m和Δm，作用于它们的合外力为重力 和桌面上的一段对它的拉力T。dx段合并于x段的速度 （x段的速度），有方程

∵u=v，∴ （1）

设线质量密度λ，由对桌面上一段的牛顿第二定律，有

（B）

将（B）代入（A），并注意m=λx， ，可得

，积分： ，求出

方法二：用机械能守恒定律求解

以下垂的一段为研究对象，以桌面为零势能位置，则由机械能守恒