一堆钢管堆在一起，它的横截面的形状是等腰梯形，已知这堆钢管最上面一层有8根，最下面一层有15根，并

构造数学模型，等差数列

a1=11,d=-1,a9=a1+8d=11-8=3

总数量是=（a1+a9）/2×9

=7×9=63

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3+7-1=9根

共

（3+9）x7÷2=42根

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即每边有3+1=4根

因此一半就有4层,中央这层为共有,所以总共有4+3=7层

里面一层要比外面一层多一根,所以共有4+5+6+7+6+5+4=37根

最下面一层：2+7×1-1=8根，共有：（2+8）×7÷2=35根

完整的题目：一堆规格相同的钢管呈梯形堆放，已知最上面的有2根，且每相邻两层相差1根，共堆放7层。这堆钢管共有多少根？

做题思路如下：

（1）设法获取外部提示。如果给一两个关键的提示，比如一个公式、一个等价关系。大家可以顺着这个方向动手做下去。一旦动手，就有可能找到解法。 相比起苦思冥想无果再看答案，通过提示做出来的效果显然更好。 提示≠剧透，提示是为了辅助构建思路，相当于先在脑海中探探路。此时只有路标，想要达到，还是要靠自己走。

（2）对于答案， 学会自己划分步骤，从而挖掘出题型和套路。

（3）带上有意义的总结。每题都配有专属的独立的总结，帮大家快速构建体系，强化知识点的应用能力。

总之，只需三点改变 ：①恰当的提示+ ②清晰的分步+ ③有意义的总结和关联。① 借助提示能带出思路，就更容易动手解题； ② 层次化的解析能看清思路，重点突出，印象更深；③ 通过总结快速回顾同类题型的常规思路，举一反三，题目利用率更高。 ①+②+③ ⟹ 整体做题效率更高，吸收更好。

陈老师在教学时，有学生很快地就回答出正确的计算方法：(2＋6)×5÷2=20(根)。 老师接着问：“你是怎么想的?”学生毫不犹豫地说：“因为钢管堆成的横截面近似梯形，所以可以直接用梯形的面积公式计算。”

老师听了，十分满意，觉得这本来就是一道不太难解决的习题，尤其是有后面括号里的提示，学生是很容易想到的。

谁知，就在教师想结束本题的教学时，有一位学生提出，反对意见：“老师，我不同意，用面积公式算出的是面积大小，怎么会是钢管的根数呢?这题得数虽然对了，但可能是巧合。”

陈老师愣住了，心想：“我在备课时，就这一点，我也没能说服自己。”但老师马上想到“穷举法”，列举了许多例子，都证明了这种方法是可以的；此时，老师感到同学们再也没有疑义了。

第二天一早，这位同学来到陈老师办公室，指着图二阐述道：“这堆钢管堆成的横截面近似三角形，如果用三角形的面积计算，应该是6×6÷2=18(根)，但是，实际是21根。所以，我还是不同意用面积公式直接计算钢管的根数。”

是啊，相差的3根钢管哪儿去了?陈老师一下子兴奋起来，为出现的奇怪现象而兴奋，也为有这样追根究底的学生而兴奋!同时，也渐渐感受到这一“探索与实践题”的教学意义。

后来，陈老师就“计算钢管根数的方法和面积计算方法之间的联系”这一问题，和学生们一起展开了一场“追根究底问面积”的探索与实践活动。通过师生的共同努力，终于柳暗花明。

如果用求面积的方法算，就必须找到面积与钢管数量(根数)的关系。什么是平面图形的面积?应该是含单位面积的多少。如果每根钢管的横截面面积为一个“单位面积”，那么，钢管堆成的横截面有多少个单位面积，钢管就有多少根。这就是这两种数量的相等关系!

我们可以用“化圆为方”的方法，将图一转化为图三：

每个正方形的面积=每个圆的面积=一个单位面积。我们用割补法将横截面转化力规则的梯形，这个梯形的上底为2个单位长度，下底为6个单位长度，高为5个单位长度。自然，梯形的面积=(2＋6)×5÷2=20(单位面积)，即这堆钢管共有20根。

而图二用“化圆为方，，的方法，它的横截面就不是近似的三角形，而是近似的梯形，如图四。

计算根数的方法不是三角形的6×6÷2=18（根），而是梯形的（1＋6）×6÷2=21（根）。因此丢了的3根，不是不能用面积公式计算，而是用错了公式。